Упр.814 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Все высоты тетраэдра пересекаются в точке $$H$$. Докажите, что точка $$H$$, центр $$O$$ описанной сферы и точка $$G$$ пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точки $$O$$ и $$H$$ симметричны относительно точки $$G$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$M$$ точку пересечения медиан грани $$A_1A_2A_3$$. Тогда $$M$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.

Для произвольной точки $$O$$ имеем

$$\overrightarrow{OM}=\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right).$$

Так как $$B_1$$ — середина ребра $$A_2A_3$$, то

$$\overrightarrow{OB_1}=\frac12\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right).$$

Тогда

$$\overrightarrow{A_1M}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA_1} =\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right)-\overrightarrow{OA_1} =\frac13\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-2\overrightarrow{OA_1}\right),$$

а также

$$\overrightarrow{MB_1}=\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OM} =\frac12\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right)-\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right) =\frac16\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-2\overrightarrow{OA_1}\right).$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MB_1}=\frac12\,\overrightarrow{A_1M},$$

то есть точки $$A_1, M, B_1$$ лежат на одной прямой. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан каждой грани лежит на соответствующем отрезке, соединяющем вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани.

Теперь рассмотрим точку $$G$$ — точку пересечения этих отрезков. Она является центроидом тетраэдра, поэтому

$$\overrightarrow{OG}=\frac14\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_4}\right).$$

Для точки $$M$$ грани $$A_1A_2A_3$$ получаем

$$\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OG} =\frac1{12}\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-3\overrightarrow{OA_4}\right),$$

а для вершины $$A_4$$

$$\overrightarrow{GA_4}=\overrightarrow{OA_4}-\overrightarrow{OG} =\frac1{4}\left(3\overrightarrow{OA_4}-\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA_2}-\overrightarrow{OA_3}\right).$$

Отсюда

$$\overrightarrow{GA_4}=3\,\overrightarrow{GM},$$

значит, точки $$A_4, G, M$$ лежат на одной прямой, и аналогично — для всех остальных вершин. Следовательно, точка $$G$$ лежит на всех таких отрезках.

Пусть теперь $$H$$ — точка пересечения высот тетраэдра. Тогда для любой вершины, например для $$A_1$$, имеем

$$\overrightarrow{HA_1}\perp A_2A_3,\qquad \overrightarrow{HA_1}\perp A_2A_4,\qquad \overrightarrow{HA_1}\perp A_3A_4.$$

Из равенства расстояний от центра описанной сферы до вершин тетраэдра следует, что

$$A_1O^2=A_2O^2=A_3O^2=A_4O^2.$$

Если обозначить

$$\overrightarrow{HO}=2\overrightarrow{HG},$$

то

$$A_1O^2=\left(\overrightarrow{HO}-\overrightarrow{HA_1}\right)^2 =\frac14\left(-\overrightarrow{HA_1}+\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}\right)^2.$$

Аналогично выражаются $$A_2O^2, A_3O^2, A_4O^2$$. Из перпендикулярности $$\overrightarrow{HA_1}$$ плоскости $$A_2A_3A_4$$ следует, что

$$\overrightarrow{HA_1}\cdot\overrightarrow{A_2A_3}=0,\qquad \overrightarrow{HA_1}\cdot\overrightarrow{A_2A_4}=0,\qquad \overrightarrow{HA_1}\cdot\overrightarrow{A_3A_4}=0.$$

Отсюда после раскрытия скобок получаем одинаковые значения для всех четырёх выражений $$A_iO^2$$. Значит, точка $$O$$ действительно является центром описанной сферы.

Так как $$\overrightarrow{HO}=2\overrightarrow{HG}$$, то точки $$H, G, O$$ лежат на одной прямой, причём $$G$$ — середина отрезка $$HO$$. Следовательно, точки $$H$$ и $$O$$ симметричны относительно точки $$G$$.

Ответ: точки $$H, O, G$$ лежат на одной прямой; $$G$$ — середина $$HO$$, поэтому $$H$$ и $$O$$ симметричны относительно $$G$$.