Упр.814 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точки О и Н симметричны относительно точки G.

Обозначим через $$M$$ точку пересечения медиан грани $$A_1A_2A_3$$. Тогда $$M$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому

$$\overrightarrow{OM}=\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right).$$

Так как $$B_1$$ — середина ребра $$A_2A_3$$, то

$$\overrightarrow{OB_1}=\frac12\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right).$$

Найдём вектор $$\overrightarrow{A_1M}$$:

$$ \overrightarrow{A_1M}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA_1} =\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right)-\overrightarrow{OA_1} =\frac13\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-2\overrightarrow{OA_1}\right). $$

Аналогично

$$ \overrightarrow{MB_1}=\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OM} =\frac12\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right)-\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right) =\frac16\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-2\overrightarrow{OA_1}\right). $$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MB_1}=\frac12\,\overrightarrow{A_1M},$$

то есть точка $$M$$ лежит на отрезке $$A_1B_1$$. Аналогично для остальных граней: точки пересечения медиан противоположных граней лежат на прямых, соединяющих соответствующие вершины с этими точками.

Теперь рассмотрим точку $$G$$ — точку пересечения отрезков, соединяющих вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней. Для неё

$$ \overrightarrow{OG}=\frac14\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_4}\right). $$

Тогда

$$ \overrightarrow{A_4G}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OA_4} =\frac14\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-3\overrightarrow{OA_4}\right), $$

а

$$ \overrightarrow{GM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OG} =\frac1{12}\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-3\overrightarrow{OA_4}\right). $$

Значит,

$$\overrightarrow{A_4G}=3\overrightarrow{GM},$$

то есть $$G\in A_4M$$ и $$A_4G:GM=3:1$$. Аналогично для других вершин.

Пусть теперь $$H$$ — точка пересечения высот тетраэдра. Тогда $$HA_1\perp A_2A_3A_4$$, а значит, $$HA_1\perp A_2A_3$$ и $$HA_1\perp A_2A_4$$. Из равенства скалярных произведений получаем, что

$$A_1O^2=A_2O^2=A_3O^2=A_4O^2,$$

то есть точка $$O$$ равноудалена от всех вершин тетраэдра.

Используя условие $$\overrightarrow{HO}=2\overrightarrow{HG}$$, получаем, что точки $$H$$, $$G$$ и $$O$$ лежат на одной прямой, причём $$G$$ делит отрезок $$HO$$ в отношении $$HG:GO=1:2$$. Следовательно, точки $$H$$ и $$O$$ симметричны относительно точки $$G$$.

Ответ

Точки $$H$$, $$O$$ и $$G$$ лежат на одной прямой; точка $$G$$ делит отрезок $$HO$$ в отношении $$HG:GO=1:2$$, поэтому $$H$$ и $$O$$ симметричны относительно $$G$$.