Упр.813 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объёму части. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром.
Пусть $$AB$$ — диаметр полукруга, $$O$$ — его середина, тогда $$O$$ — центр шара. Обозначим $$\angle CBA=\alpha$$. Проведём $$OK\perp BC$$ и $$CD\perp AB$$.
При вращении хорды $$BC$$ вокруг прямой $$AB$$ получается тело, объём которого равен разности объёма шарового сегмента и объёма конуса, полученного вращением треугольника $$BCD$$.
Тогда
$$V=\pi\cdot BD^2\left(R-\frac{BD}{3}\right)-\frac{\pi}{3}\cdot DC^2\cdot BD,$$
где $$R$$ — радиус шара.
Из прямоугольных треугольников имеем:
$$BC=2R\cos\alpha,\qquad BD=BC\cos\alpha=2R\cos^2\alpha,$$
$$DC=BC\sin\alpha=2R\cos\alpha\sin\alpha.$$
Подставим:
$$V=\pi\cdot (2R\cos^2\alpha)^2\left(R-\frac{2R\cos^2\alpha}{3}\right)-\frac{\pi}{3}\cdot (2R\cos\alpha\sin\alpha)^2\cdot 2R\cos^2\alpha.$$
Упростим:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha.$$
По условию эта поверхность делит шар на две равные по объёму части, значит
$$V=\frac12 V_{\text{шара}}=\frac12\cdot \frac{4}{3}\pi R^3.$$
Следовательно,
$$\frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha=\frac12\cdot \frac{4}{3}\pi R^3,$$
откуда
$$\cos^4\alpha=\frac12,\qquad \cos\alpha=\sqrt[4]{\frac12}.$$
Ответ: $$\sqrt[4]{\frac12}$$.
