Упр.812 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Правильная четырёхугольная пирамида, у которой сторона основания равна $$a$$, а плоский угол при вершине равен $$?$$, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объём полученного тела вращения.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр квадрата $$ABCD$$, а через $$H$$ — основание перпендикуляра из $$M$$ на ребро $$AB$$. Тогда в правильной пирамиде $$MA=MB$$, а в равнобедренном треугольнике $$AMB$$ прямая $$MH$$ является высотой и биссектрисой, поэтому

$$\angle AMH=\frac{\alpha}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$AMH$$ получаем

$$MH=AH\cdot \ctg \frac{\alpha}{2}=\frac{a}{2}\ctg \frac{\alpha}{2}.$$

Так как $$O$$ — центр квадрата, то $$OH=\frac{a}{2}$$, и в прямоугольном треугольнике $$OMH$$

$$OM=\sqrt{MH^2-OH^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}\ctg^2\frac{\alpha}{2}-\frac{a^2}{4}}.$$

Используя тождество $$\ctg^2 x-1=\dfrac{\cos 2x}{\sin^2 x}$$ при $$x=\frac{\alpha}{2}$$, получаем

$$OM=\frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}.$$

При вращении пирамиды вокруг прямой, проходящей через $$M$$ параллельно стороне основания, получается тело, объём которого равен объёму цилиндра радиуса $$MH$$ и высоты $$a$$, уменьшенному на удвоенный объём конуса с радиусом основания $$OM$$ и высотой $$\frac{a}{2}$$:

$$V=\pi MH^2\cdot a-2\cdot \frac13 \pi OM^2\cdot \frac{a}{2}.$$

Подставим найденные значения:

$$V=\pi \left(\frac{a}{2}\ctg \frac{\alpha}{2}\right)^2 a-\frac{2}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}\right)^2\cdot \frac{a}{2}.$$

После упрощения получаем

$$V=\frac{\pi a^3}{12}\left(3\ctg^2\frac{\alpha}{2}-\frac{\cos \alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}\right).$$