Упр.811 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В конус вписан шар. Докажите, что отношение объёмов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса $$AMB$$. Тогда $$AM=MB=l$$, а значит, $$\triangle AMB$$ — равносторонний. Пусть $$MH\perp AB$$, где $$MH=h$$ — высота конуса, $$AH=HB=r$$ — радиус основания конуса, $$OH=R$$ — радиус вписанной в $$\triangle AMB$$ окружности.

Тогда

$$S_{\text{кон}}=\pi r^2+\pi rl=\pi r(r+l),$$

$$S_{\text{шара}}=4\pi R^2,$$

поэтому

$$\frac{S_{\text{кон}}}{S_{\text{шара}}}=\frac{\pi r(r+l)}{4\pi R^2}=\frac{r(r+l)}{4R^2}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle AMH$$ и $$\triangle MOK$$, где $$K$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AM$$. Эти треугольники подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий угол при вершине $$M$$. Поэтому

$$\frac{AH}{AM}=\frac{OK}{OM}.$$

Так как $$AH=r$$, $$AM=l$$, $$OK=R$$, $$OM=h-R$$, то

$$\frac{r}{l}=\frac{R}{h-R},$$

откуда

$$r(h-R)=lR,$$

$$rh=(r+l)R.$$

Найдём отношение объёмов:

$$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi r^2h,\qquad V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Тогда

$$\frac{V_{\text{кон}}}{V_{\text{шара}}}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{r^2h}{4R^3}.$$

Подставим $$rh=(r+l)R$$:

$$\frac{V_{\text{кон}}}{V_{\text{шара}}}=\frac{r(r+l)R}{4R^3}=\frac{r(r+l)}{4R^2}.$$