Упр.810 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вокруг данного шара описан конус с углом ? при вершине осевого сечения. При каком значении ? конус имеет наименьший объём?

Рассмотрим осевое сечение конуса $$AMB$$. Тогда $$AM=MB$$, а высота $$MH$$ делит основание пополам: $$AH=HB$$. Обозначим через $$OH$$ радиус вписанной в треугольник $$AMB$$ окружности.

Площадь треугольника $$AMB$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{AMB}=\frac12(AB+AM+MB)\cdot OH$$

и

$$S_{AMB}=\frac12\cdot AB\cdot MH.$$

Так как $$AM=MB$$ и $$AB=2AH$$, то

$$\frac12(2AH+2AM)\cdot OH=\frac12\cdot 2AH\cdot MH,$$

откуда

$$(AH+AM)\cdot OH=AH\cdot MH.$$

В прямоугольном треугольнике $$AMH$$ имеем

$$AM=\sqrt{MH^2+AH^2}.$$

Тогда

$$\left(AH+\sqrt{MH^2+AH^2}\right)OH=AH\cdot MH.$$

После преобразований получаем

$$AH^2=\frac{OH^2\cdot MH}{MH-2OH}.$$

Объём конуса равен

$$V=\frac13\pi AH^2\cdot MH=\frac13\pi\cdot \frac{MH^2\cdot OH^2}{MH-2OH}.$$

Пусть $$OH$$ — величина постоянная. Тогда для минимума объёма достаточно исследовать функцию

$$V(MH)=\frac{MH^2}{MH-2OH}.$$

Найдём производную:

$$V’=\frac{2MH(MH-2OH)-MH^2}{(MH-2OH)^2}.$$

Приравниваем числитель к нулю:

$$2MH(MH-2OH)-MH^2=0,$$

$$MH(2MH-4OH-MH)=0,$$

$$MH=4OH.$$

Значит, при минимальном объёме

$$MH=4OH.$$

Тогда

$$AH^2=\frac{OH^2\cdot 4OH}{4OH-2OH}=2OH^2,$$

то есть

$$AH=OH\sqrt2.$$

В прямоугольном треугольнике $$AMH$$

$$AM=\sqrt{MH^2+AH^2}=\sqrt{(4OH)^2+2OH^2}=3OH\sqrt2.$$

Пусть $$\angle AMB=\alpha$$. Тогда $$\angle AMH=\dfrac{\alpha}{2}$$, и

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{AH}{AM}=\frac{OH\sqrt2}{3OH\sqrt2}=\frac13.$$

Следовательно,

$$\alpha=2\arcsin\frac13.$$

Ответ

$$\alpha=2\arcsin\frac13$$