Упр.809 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объём общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см.

Направим оси координат так, чтобы $$OX$$ совпадала с осью первого цилиндра, а $$OZ$$ — с осью второго цилиндра. Тогда $$OY \perp OX$$ и $$OY \perp OZ$$.

Так как точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров, то расстояние от этой точки до каждого основания равно радиусу $$r=1$$. Поэтому уравнения боковых поверхностей цилиндров можно записать в виде

$$x^2+z^2=1,\qquad x^2+y^2=1.$$

В первой октанте общая часть цилиндров задаётся условиями

$$z=\sqrt{1-x^2},\qquad y=\sqrt{1-x^2}.$$

Сечение этой части плоскостью, перпендикулярной оси $$OX$$, — квадрат со стороной $$\sqrt{1-x^2}$$, значит его площадь равна

$$S(x)=\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2=1-x^2.$$

Тогда объём в первой октанте:

$$V_1=\int_0^1 (1-x^2)\,dx = \left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =1-\frac13=\frac23.$$

Вся общая часть состоит из восьми равных частей, поэтому

$$V=8V_1=8\cdot \frac23=\frac{16}{3}\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$\frac{16}{3}\ \text{см}^3$$.