Упр.808 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что V=h/6(S_1+S_2+4S_3), где V — объём многогранника, h — его высота, S_1 и S_2 — площади оснований, a S_3 — площадь сечения плоскостью, параллельной плоскостям оснований и равноудалённой от них.

Подробный ответ

Возьмём точку $$A$$ внутри сечения многогранника плоскостью $$\gamma$$ и разобьём многогранник на пирамиды с вершиной $$A$$, основаниями которых служат основания и боковые грани многогранника.

Так как плоскость $$\gamma$$ равноудалена от плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$, то расстояние от $$A$$ до каждой из этих плоскостей равно $$\frac{h}{2}$$. Поэтому объёмы двух пирамид с основаниями площадей $$S_1$$ и $$S_2$$ равны

$$ V_1=\frac{1}{3}S_1\cdot \frac{h}{2}=\frac{S_1h}{6}, \qquad V_2=\frac{1}{3}S_2\cdot \frac{h}{2}=\frac{S_2h}{6}. $$

Рассмотрим боковую грань, которая является треугольником. Плоскость $$\gamma$$ пересекает её по отрезку, параллельному одной из сторон, поэтому получаются два подобных треугольника с коэффициентом подобия $$2:1$$. Следовательно, площадь меньшего треугольника в $$4$$ раза меньше площади всей грани.

Если основание пирамиды лежит в такой треугольной грани, то высота этой пирамиды равна $$\frac{h}{2}$$, а объём соответствующей части равен

$$ V_{\triangle}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}S_{\text{грани}}\cdot \frac{h}{2} =\frac{1}{24}S_{\text{грани}}h. $$

Но таких частей в треугольных боковых гранях получается четыре, и в сумме они дают

$$ V_3=\frac{4}{6}S_3h. $$

Здесь $$S_3$$ — площадь сечения плоскостью $$\gamma$$, так как все четырёхугольные боковые грани можно разбить на треугольники, а сумма площадей оснований соответствующих пирамид как раз равна $$S_3$$.

Тогда объём всего многогранника равен сумме найденных объёмов:

$$ V=V_1+V_2+V_3 =\frac{S_1h}{6}+\frac{S_2h}{6}+\frac{4S_3h}{6} =\frac{h}{6}(S_1+S_2+4S_3). $$