Упр.808 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что $$V=\frac{h}{6}(S_1+S_2+4S_3),$$ где $$V$$ — объём многогранника, $$h$$ — его высота, $$S_1$$ и $$S_2$$ — площади оснований, а $$S_3$$ — площадь сечения плоскостью, параллельной плоскостям оснований и равноудалённой от них.

Возьмём точку $$A$$ внутри сечения многогранника плоскостью $$\gamma$$ и разобьём многогранник на пирамиды с вершиной $$A$$, а в качестве оснований возьмём основания и боковые грани многогранника.

Пусть $$V_1$$ и $$V_2$$ — объёмы пирамид с основаниями площадей $$S_1$$ и $$S_2$$. Так как плоскость $$\gamma$$ равноудалена от плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$, то высота каждой из этих пирамид равна $$\frac{h}{2}$$. Тогда

$$V_1=\frac{1}{3}S_1\cdot \frac{h}{2}=\frac{S_1h}{6},\qquad V_2=\frac{1}{3}S_2\cdot \frac{h}{2}=\frac{S_2h}{6}.$$

Теперь рассмотрим боковую грань, которая является треугольником. Плоскость $$\gamma$$ пересекает её по отрезку, соединяющему середины её боковых сторон, поэтому площадь сечения этой части в 4 раза меньше площади всей треугольной грани. Следовательно, объём соответствующей пирамиды равен

$$V_{\triangle}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}S_{\text{грани}}\cdot h =\frac{1}{6}S_{\text{грани}}h.$$

Если боковая грань — четырёхугольник, то её можно разбить на два треугольника. Тогда сумма площадей оснований всех таких пирамид равна площади сечения $$S_3$$, а их общий объём равен

$$V_3=\frac{4}{6}hS_3.$$

Складывая объёмы всех полученных пирамид, получаем

$$V=V_1+V_2+V_3 =\frac{S_1h}{6}+\frac{S_2h}{6}+\frac{4S_3h}{6} =\frac{h}{6}(S_1+S_2+4S_3).$$

Что и требовалось доказать.