Упр.807 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки Е и F — середины рёбер DC и ВВ_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_! с ребром 1 см. Найдите объём тетраэдра AD_1EF.

Подробный ответ

Обозначим $$AF=a,$$ $$D_1E=b,$$ а расстояние между скрещивающимися прямыми $$AF$$ и $$D_1E$$ — через $$c$$. Тогда $$c=AD=1,$$ так как эти прямые лежат в параллельных гранях куба.

Проведём через точку $$F_1$$ на ребре $$CC_1$$ такую точку, что $$CF_1=C_1F_1$$, и обозначим $$M=D_1E\cap DF_1.$$ Тогда $$DF_1\parallel AF,$$ а угол между прямыми $$AF$$ и $$D_1E$$ равен $$\angle DMD_1=\varphi.$$

Найдём длины $$a$$ и $$b$$.

Так как $$AB=1$$ и $$BF=\frac12,$$ то в прямоугольном треугольнике $$ABF$$

$$ AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}{2}. $$

Аналогично, поскольку $$DD_1=1$$ и $$DE=\frac12,$$ в прямоугольном треугольнике $$DD_1E$$ получаем

$$ D_1E=\sqrt{DD_1^2+DE^2}=\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}{2}. $$

Кроме того, $$\triangle DD_1E \cong \triangle DCF_1$$, значит $$\angle CDF_1=\angle DD_1E.$$ Тогда

$$ \angle D_1MD=180^\circ-\angle DD_1E-\angle D_1DM. $$

Так как $$\angle D_1DM=90^\circ-\angle CDF_1,$$ то

$$ \varphi=180^\circ-\angle CDF_1-(90^\circ-\angle CDF_1)=90^\circ. $$

Следовательно, $$\sin\varphi=1.$$

Теперь используем формулу объёма тетраэдра через три попарно скрещивающиеся рёбра:

$$ V=\frac{abc\sin\varphi}{6}. $$