Упр.807 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$E$$ и $$F$$ — середины рёбер $$DC$$ и $$BB_1$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребром $$1\ \text{см}$$. Найдите объём тетраэдра $$AD_1EF$$.
Рассмотрим тетраэдр $$AD_1EF$$. Его противоположные рёбра $$AF$$ и $$D_1E$$ лежат в параллельных гранях куба, а расстояние между ними равно $$AD=1$$.
Обозначим $$AF=a$$, $$D_1E=b$$, $$AD=c$$. Тогда по формуле для объёма тетраэдра через длины противоположных рёбер и угол между ними:
$$V=\frac{abc\sin\varphi}{6},$$
где $$\varphi$$ — угол между прямыми $$AF$$ и $$D_1E$$.
Найдём длины рёбер $$AF$$ и $$D_1E$$.
Так как $$F$$ — середина ребра $$BB_1$$, то $$BF=FB_1=\frac12$$. В прямоугольном треугольнике $$ABF$$:
$$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{1^2+\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac54}=\frac{\sqrt5}{2}.$$
Аналогично, так как $$E$$ — середина ребра $$DC$$, а $$D_1D\perp DC$$, то в прямоугольном треугольнике $$DD_1E$$:
$$D_1E=\sqrt{DD_1^2+DE^2}=\sqrt{1^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt5}{2}.$$
Теперь найдём угол $$\varphi$$. Проведём через точку $$F_1$$ середину ребра $$CC_1$$ и рассмотрим точку $$M=D_1E\cap DF_1$$. Тогда $$DF_1\parallel AF$$, а угол между скрещивающимися прямыми $$AF$$ и $$D_1E$$ равен $$\angle DMD_1$$. При этом треугольники $$DD_1E$$ и $$DCF_1$$ равны, значит соответствующие углы равны, и получается:
$$\varphi=90^\circ,$$
следовательно,
$$\sin\varphi=1.$$
Подставим всё в формулу объёма:
$$V=\frac{abc\sin\varphi}{6} =\frac{\frac{\sqrt5}{2}\cdot \frac{\sqrt5}{2}\cdot 1\cdot 1}{6} =\frac{5}{24}.$$
Ответ: $$\frac{5}{24}\text{ см}^3$$.
