Упр.806 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок $$AB$$, а на двух других — точки $$C$$ и $$D$$ соответственно. Докажите, что объём тетраэдра $$ABCD$$ не зависит от выбора точек $$C$$ и $$D$$.

Подробный ответ

Рассмотрим плоскость $$\alpha$$, проходящую через прямую $$b$$ и точку $$C$$, и плоскость $$\beta$$, проходящую через прямые $$c$$ и $$d$$.

Так как $$b \parallel c \parallel d$$ и прямые $$b$$, $$c$$, $$d$$ не лежат в одной плоскости, то:

точки $$A$$ и $$B$$ принадлежат прямой $$b$$, а точка $$C$$ — прямой $$c$$, значит, треугольник $$ABC$$ лежит в плоскости $$\alpha$$;
прямая $$d$$ параллельна прямой $$b$$, следовательно, она параллельна плоскости $$\alpha$$.

Опустим из точки $$D$$ высоту $$DH$$ на плоскость $$ABC$$. Поскольку $$D \in d$$, а $$d \parallel \alpha$$, расстояние от точки $$D$$ до плоскости $$ABC$$ постоянно и не зависит от выбора точки $$D$$. Значит, $$DH = \text{const}$$.

Теперь рассмотрим площадь основания $$\triangle ABC$$. Прямая $$b$$ содержит отрезок $$AB$$, а $$c \parallel b$$, поэтому расстояние от точки $$C$$ до прямой $$AB$$ равно расстоянию между параллельными прямыми $$b$$ и $$c$$ и не зависит от положения точки $$C$$. Следовательно, высота треугольника $$ABC$$, опущенная на основание $$AB$$, постоянна, а значит,

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AB \cdot h=\text{const}.$$

Тогда объём тетраэдра

$$V_{ABCD}=\frac13 S_{ABC}\cdot DH$$

также не зависит от выбора точек $$C$$ и $$D$$.

Ответ: $$V_{ABCD}$$ не зависит от положения точек $$C$$ и $$D$$.