Упр.805 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Основанием пирамиды $$OABCD$$ является параллелограмм $$ABCD$$. В каком отношении делит объём пирамиды плоскость, проходящая через прямую $$AB$$ и среднюю линию грани $$OCD$$?
Пусть $$V$$ — объём пирамиды $$OABCD$$.
Обозначим через $$O_1$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$O$$ на плоскость $$ABCD$$. Тогда высота пирамиды равна $$OO_1$$.
Плоскость сечения проходит через прямую $$AB$$ и среднюю линию $$MN$$ грани $$OCD$$, где $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$OD$$ и $$OC$$ соответственно.
Рассмотрим части пирамиды, на которые делит её эта плоскость.
1) Так как $$N$$ — середина ребра $$OC$$, то в треугольнике $$OBC$$ отрезок $$BN$$ делит площадь основания этого треугольника пополам:
$$S_{BCN}=\frac{1}{2}S_{BOC}.$$
При этом высота из точки $$A$$ на плоскость $$OBC$$ у обеих частей одна и та же, значит
$$V_{ABNO}=V_{ABCN}.$$
Но треугольник $$ABC$$ составляет половину параллелограмма $$ABCD$$, поэтому
$$V_{ABCN}=\frac{1}{4}V.$$
Следовательно,
$$V_{ABNO}=\frac{1}{4}V.$$
2) В треугольнике $$OCD$$ отрезок $$MN$$ — средняя линия, значит
$$S_{OMN}=\frac{1}{4}S_{OCD}.$$
Тогда объём пирамиды $$AOMN$$ составляет четверть объёма пирамиды $$AOCD$$:
$$V_{AOMN}=\frac{1}{4}V_{AOCD}.$$
Так как треугольник $$ACD$$ — половина параллелограмма $$ABCD$$, то
$$V_{AOCD}=\frac{1}{2}V.$$
Значит,
$$V_{AOMN}=\frac{1}{8}V.$$
3) Тогда объём одной части сечения равен
$$V_{ABMNO}=V_{ABNO}+V_{AOMN}=\frac{1}{4}V+\frac{1}{8}V=\frac{3}{8}V.$$
Объём второй части:
$$V_{ABCDMN}=V-V_{ABMNO}=V-\frac{3}{8}V=\frac{5}{8}V.$$
Следовательно, искомое отношение равно
$$V_{ABMNO}:V_{ABCDMN}=3:5.$$
Ответ: $$3:5$$.
