Упр.804 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объёмы которых равны.

Пусть плоскость сечения проходит через ребро $$AB$$ и середину $$M$$ противоположного ребра $$CD$$ тетраэдра $$ABCD$$. Обозначим через $$H$$ и $$H_1$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$D$$ и $$M$$ на плоскость $$ABC$$:

$$DH \perp ABC,\qquad MH_1 \perp ABC.$$

Так как точки $$D, M, C$$ лежат на одной прямой, а $$M$$ — середина $$CD$$, то расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$ABC$$ вдвое меньше расстояния от точки $$D$$ до этой плоскости. Значит,

$$MH_1=\frac12\,DH.$$

Теперь рассмотрим тетраэдры $$ABCD$$ и $$ABCM$$. У них общее основание $$ABC$$, поэтому их объёмы выражаются через высоты к этой плоскости:

$$V_{ABCD}=\frac13 S_{ABC}\cdot DH,$$

$$V_{ABCM}=\frac13 S_{ABC}\cdot MH_1.$$

Подставим $$MH_1=\frac12\,DH$$:

$$V_{ABCM}=\frac13 S_{ABC}\cdot \frac12 DH=\frac12\left(\frac13 S_{ABC}\cdot DH\right)=\frac12 V_{ABCD}.$$

Следовательно, второй тетраэдр, на который плоскость делит исходный тетраэдр, имеет такой же объём, как и первый, то есть

$$V_{ABCM}=V_{ACMD}.$$

Значит, плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, делит его на две части равного объёма.