Упр.803 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что объём тетраэдра равен $$\frac{1}{6}abc\sin(?)$$, где $$a$$ и $$b$$ — противоположные рёбра, а $$?$$ и $$c$$ — соответственно угол и расстояние между ними.
Достроим тетраэдр до параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ так, что
$$ABB_1A_1 \parallel CD_1,\quad BCC_1B_1 \parallel AD_1,\quad CDD_1C_1 \parallel AB,\quad ADD_1A_1 \parallel BC.$$
Тогда $$A_1B \parallel CD_1$$, значит угол между рёбрами $$AB$$ и $$CD_1$$ равен углу $$\angle A_1BA=\varphi$$, а расстояние между ними равно $$AD=c$$.
Рассмотрим прямоугольник $$AA_1BB_1$$. Его диагональ $$A_1B$$, поэтому
$$S_{ABB_1A_1}=2S_{ABA_1} =2\cdot \frac12 \cdot AB \cdot BA_1 \sin \angle ABA_1 =ab\sin\varphi.$$
Объём параллелепипеда равен
$$V_{\text{парал}}=S_{ABB_1A_1}\cdot AD=abc\sin\varphi.$$
Тетраэдр составляет шестую часть параллелепипеда, так как параллелепипед разбивается на 6 равных тетраэдров. Следовательно,
$$V_{\text{тетр}}=\frac16 V_{\text{парал}}=\frac16 abc\sin\varphi.$$
Ответ: $$V=\frac16 abc\sin\varphi$$.
