Упр.802 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Плоскости $$AB_1C_1$$ и $$A_1BC$$ разбивают треугольную призму $$ABCA_1B_1C_1$$ на четыре части. Найдите отношение объёмов этих частей.
Обозначим объём всей призмы через $$V.$$
Плоскости $$AB_1C_1$$ и $$A_1BC$$ пересекаются по прямой $$MN,$$ где точки $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей прямоугольников $$AA_1BB_1$$ и $$AA_1CC_1$$ соответственно. Значит, $$MN$$ — средняя линия треугольников $$A_1BC$$ и $$AB_1C_1.$$
Тогда треугольники $$A_1BC$$ и $$AB_1C_1$$ равны, а призма разбивается на четыре части: тетраэдр $$A_1AMN,$$ тетраэдр $$AMNB,$$ призму $$ABCMN$$ и призму $$BCB_1C_1MN.$$
Найдём их объёмы.
1) Объём тетраэдра $$A_1ABC$$ равен
$$V_{A_1ABC}=\frac13 S_{ABC}\cdot AA_1=\frac13V.$$
2) Пусть $$AH\perp A_1BC.$$ Тогда $$AH$$ — общая высота для тетраэдров $$A_1ABC$$ и $$A_1AMN,$$ поэтому
$$\frac{V_{A_1AMN}}{V_{A_1ABC}}=\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}.$$
Так как $$MN$$ — средняя линия треугольника $$A_1BC,$$ то $$\triangle AMN \sim \triangle ABC$$ с коэффициентом подобия $$\frac12,$$ следовательно,
$$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac14.$$
Значит,
$$V_{A_1AMN}=\frac14V_{A_1ABC}=\frac1{12}V.$$
3) Тетраэдры $$AMNB$$ и $$AMNA_1$$ имеют общую высоту из точки $$M$$ к плоскости $$A_1BC,$$ а их основания относятся как
$$\frac{S_{MNB}}{S_{MNA_1}}=1,$$
поэтому
$$V_{AMNB}=V_{A_1AMN}=\frac1{12}V.$$
Тогда объём части $$ABCMN$$ равен
$$V_{ABCMN}=V_{A_1ABC}-V_{A_1AMN}=\frac13V-\frac1{12}V=\frac14V.$$
4) Оставшаяся часть имеет объём
$$V_{BCB_1C_1MN}=V-\frac1{12}V-\frac1{12}V-\frac14V=\frac5{12}V.$$
Следовательно, отношение объёмов частей равно
$$\frac1{12}V:\frac1{12}V:\frac14V:\frac5{12}V=1:1:3:5.$$
Ответ
$$1:1:3:5.$$
