Упр.801 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На плоскости лежат три шара радиуса $$R$$, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна $$?R$$. Найдите радиус его основания.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1,A_2,A_3$$ точки касания шаров с плоскостью основания конуса, а через $$O$$ — центр основания конуса. Тогда $$A_1A_2=A_2A_3=A_3A_1=2R$$, значит, треугольник $$A_1A_2A_3$$ равносторонний, а точка $$O$$ — его центр.

Следовательно,

$$OA_1=\frac{2R\sqrt{3}}{3}.$$

Рассмотрим один из шаров и его касание с конусом. Пусть $$A_1$$ — точка касания шара с плоскостью, а $$C_1$$ — точка касания этого шара с боковой поверхностью конуса. В осевом сечении конуса получаем прямоугольный треугольник $$MBH$$, где $$BH=r$$, $$MH=\lambda R$$.

Обозначим $$\angle MBH=\alpha$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$MBH$$

$$\tan \alpha=\frac{MH}{BH}=\frac{\lambda R}{r}.$$

С другой стороны, из равенства касательных и равенства радиусов шаров получаем

$$A_1B=OA_1-OA=\frac{2R\sqrt{3}}{3}-r.$$

В прямоугольном треугольнике, связанном с касанием шара и конуса, имеем

$$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{A_1B}{R}=\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{r}{R}.$$

Используем формулу двойного угла:

$$\tan \alpha=\frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2 \frac{\alpha}{2}}.$$

Подставляя найденные выражения, получаем

$$\frac{\lambda R}{r}=\frac{2\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{r}{R}\right)}{1-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{r}{R}\right)^2}.$$

После упрощения получаем квадратное уравнение относительно $$r$$:

$$3(\lambda-2)r^2-4\sqrt{3}(\lambda-1)Rr+\lambda R^2=0.$$