Упр.800 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На плоскости лежат четыре шара радиуса $$R$$, причём три из них попарно касаются друг друга, а четвёртый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса $$r$$, касающиеся друг друга, причём каждый из них касается трёх больших шаров. Найдите радиус маленьких шаров.

Рассмотрим проекции центров шаров на плоскость $$a$$.

Так как три шара радиуса $$R$$ попарно касаются друг друга, а четвёртый касается двух из них, то проекции их центров образуют ромб со стороной $$2R$$. Обозначим эти проекции через $$O_1, O_2, O_3, O_4$$.

Пусть шары меньшего радиуса $$r$$ касаются друг друга и трёх больших шаров. Обозначим их центры через $$O_5$$ и $$O_6$$. Тогда проекции центров $$O_5$$ и $$O_6$$ на плоскость $$a$$ являются центрами окружностей, вписанных в треугольники $$\triangle O_1O_2O_4$$ и $$\triangle O_2O_3O_4$$.

Поскольку эти треугольники равносторонние со стороной $$2R$$, их биссектрисы, медианы и высоты совпадают. Значит, точки $$O_5$$ и $$O_6$$ лежат на высотах этих треугольников, а отрезок $$O_5O_6$$ перпендикулярен $$O_2O_4$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle OO_2O_5$$, где $$O$$ — точка касания шаров $$O_2$$ и $$O_4$$, спроецированная на плоскость $$a$$. Тогда

$$O_2O=R,\qquad OO_5=r,$$

а луч $$O_2O_5$$ является биссектрисой угла $$\angle O_4O_2O_1$$. В равностороннем треугольнике этот угол равен $$60^\circ$$, значит

$$\angle OO_2O_5=30^\circ.$$

Тогда

$$r=O_5O=O_2O\cdot \tg 30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}R$$.