Упр.80 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечения плоскостями $$ABC_1$$ и $$DCB_1$$, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются.

Построим сечение плоскостью $$ABC_1$$.

Так как $$BB_1C_1C \parallel AA_1D_1D$$, то $$BC \parallel A_1D_1$$. Плоскости $$ABC_1$$ и $$AA_1D_1D$$ имеют общую точку $$A$$, значит, пересекаются по прямой, проходящей через $$A$$ и параллельной $$BC_1$$.

Плоскости граней $$AA_1B_1B$$ и $$DD_1C_1C$$ пересечены плоскостью $$ABC_1$$, следовательно, их линии пересечения параллельны. Поэтому $$AB \parallel C_1D_1$$.

Тогда плоскость $$ABC_1$$ пересекает грань $$AA_1D_1D$$ по прямой $$AD_1$$; при этом $$AD_1 \parallel BC_1$$. Значит, искомое сечение — параллелограмм $$ABC_1D_1$$.

Теперь построим сечение плоскостью $$DCB_1$$.

Точка $$D$$ общая для плоскостей $$DCB_1$$ и $$AA_1D_1D$$. Эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через $$D$$ и параллельной прямой $$CB_1$$. В грани $$AA_1D_1D$$ такой прямой является $$DA_1$$.

Следовательно, искомое сечение — четырёхугольник $$DCB_1A_1$$.

Обозначим через $$P$$ и $$Q$$ центры граней $$AA_1D_1D$$ и $$BB_1C_1C$$ соответственно. Тогда отрезок $$PQ$$ лежит в обеих построенных плоскостях, а значит, является линией их пересечения.

Итак, плоскости $$ABC_1$$ и $$DCB_1$$ пересекаются по отрезку $$PQ$$.

Ответ: $$ABC_1D_1$$ и $$DCB_1A_1$$; линия их пересечения — $$PQ$$.