Упр.80 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями ABC1 и DCB1, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются.

а) Сечение плоскостью $$ABC_1$$.

Плоскость $$BB_1C_1C$$ параллельна плоскости $$AA_1D_1D$$, так как это противоположные грани параллелепипеда. Следовательно, $$BC \parallel AA_1D_1D$$.

Точка $$A$$ принадлежит плоскостям $$ABC_1$$ и $$AA_1D_1D$$, значит, линия их пересечения проходит через $$A$$ и параллельна прямой $$BC_1$$.

Плоскости граней $$AA_1B_1B$$ и $$DD_1C_1C$$ пересечены плоскостью $$ABC_1D_1$$, поэтому линии их пересечения параллельны. Отсюда $$AB \parallel C_1D_1$$.

Тогда плоскость $$ABC_1$$ пересекает грань $$AA_1D_1D$$ по прямой $$AD_1$$, причём $$AD_1 \parallel BC_1$$.

Следовательно, искомое сечение — параллелограмм $$ABC_1D_1$$.

б) Сечение плоскостью $$DCB_1$$.

Точка $$D$$ общая для плоскостей $$DCB_1$$ и $$AA_1D_1D$$, значит, линия их пересечения проходит через $$D$$ и параллельна прямой $$CB_1$$.

В плоскости грани $$AA_1D_1D$$ через точку $$D$$ проводим прямую, параллельную $$CB_1$$. Это прямая $$DA_1$$, так как $$DA_1 \parallel CB_1$$.

Значит, искомое сечение — четырёхугольник $$DCB_1A_1$$.

в) Отрезок пересечения построенных сечений.

Пусть $$P$$ и $$Q$$ — центры граней $$AA_1D_1D$$ и $$BB_1C_1C$$ соответственно. Тогда отрезок $$PQ$$ является линией пересечения построенных сечений.

Действительно, $$P \in ABC_1D_1$$ и $$Q \in DCB_1A_1$$, а значит, $$PQ$$ — общая часть этих плоскостей.

Ответ

$$ABC_1D_1$$, $$DCB_1A_1$$, отрезок $$PQ$$, где $$P$$ и $$Q$$ — центры граней $$AA_1D_1D$$ и $$BB_1C_1C$$.