Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.8 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Углы $$A$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ равны $$45^\circ$$ и $$60^\circ$$. Отрезки $$AM$$, $$BN$$ и $$CK$$ — высоты треугольника. Найдите отношение $$\frac{MN}{KN}$$.

Обозначим через $$O$$ центр вписанной окружности треугольника $$MKN$$. Тогда для угла между радиусами к точкам $$M$$ и $$N$$ имеем

$$\angle MON=180^\circ-\frac12\left(180^\circ-\angle MKN\right).$$

Отсюда

$$\angle MON=180^\circ-90^\circ+\frac12\angle MKN=90^\circ+\frac12\angle K.$$

Теперь найдём углы треугольника $$MKN$$ через углы исходного треугольника $$ABC$$.

Так как $$AM\perp BC$$, то в прямоугольном треугольнике, связанном с углом $$C$$, получаем

$$\angle K=2(90^\circ-\angle C).$$

Аналогично из условия $$CK\perp AB$$ и $$\angle A=45^\circ$$ имеем

$$\angle M=2(90^\circ-\angle A).$$

Подставим значения:

$$\angle K=2(90^\circ-60^\circ)=60^\circ,$$

$$\angle M=2(90^\circ-45^\circ)=90^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$MKN$$

$$\angle N=180^\circ-\angle MKN-\angle KMN=180^\circ-60^\circ-90^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$MKN$$

$$\frac{MN}{KN}=\cos\angle N=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt3}{2}$$.