Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.8 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра равны $$1$$. Найдите тангенс угла между плоскостями $$ABC$$ и $$CA_1B_1$$.

Обозначим через $$E$$ середину ребра $$A_1B_1$$, а через $$F$$ — середину ребра $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$A_1B_1C_1$$ отрезок $$CE$$ является высотой, значит $$CE \perp A_1B_1$$. Аналогично, в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ отрезок $$CF$$ является высотой, значит $$CF \perp AB$$.

Так как призма правильная, то $$A_1B_1 \parallel AB$$, следовательно, прямая $$EF$$ перпендикулярна $$AB$$. Угол между плоскостями $$ABC$$ и $$CA_1B_1$$ равен углу $$\angle ECF$$.

Найдём длины отрезков $$EF$$ и $$CF$$.

В треугольнике $$ABC$$:

$$AF=BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$CF=\sqrt{AC^2-AF^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

В равнобедренном треугольнике $$A_1B_1C_1$$:

$$A_1E=B_1E=\frac{1}{2}A_1B_1=\frac{1}{2},$$

а так как $$AA_1=1$$ и $$AB=1$$, то расстояние между серединами соответствующих параллельных рёбер равно

$$EF=AA_1=1.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ECF$$

$$\tan \angle ECF=\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Ответ

$$\frac{2}{\sqrt{3}}$$