Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.8 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Углы А и С треугольника АВС равны 45° и 60°. Отрезки AM, BN и CK — высоты треугольника. Найдите отношение MN/KN.

Обозначим через $$O$$ центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$. Тогда точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$ — основания высот, а значит, четырёхугольники, связанные с высотами, позволяют выразить углы через углы треугольника.

Для вписанной окружности имеем:

$$\angle MON=180^\circ-\frac12\left(180^\circ-\angle MKN\right).$$

Так как $$\angle MKN=180^\circ-\angle C,$$ то

$$\angle MON=180^\circ-90^\circ+\frac12\angle MKN=90^\circ+\frac12\angle K.$$

Теперь найдём углы треугольника $$MKN$$ через углы треугольника $$ABC$$:

$$\angle K=2(90^\circ-\angle C), \qquad \angle M=2(90^\circ-\angle A).$$

Подставим данные:

$$\angle K=2(90^\circ-60^\circ)=60^\circ,$$

$$\angle M=2(90^\circ-45^\circ)=90^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$MKN$$

$$\angle N=180^\circ-\angle MKN-\angle KMN=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$MKN$$:

$$\frac{MN}{KN}=\cos\angle N=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$