Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.8 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 1. Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и CA_1B_1.

Обозначим точки $$E$$ и $$F$$ так, что $$A_1E=B_1E$$ и $$AF=BF$$. Тогда $$E$$ — середина ребра $$A_1B_1$$, а $$F$$ — середина ребра $$AB$$.

В равнобедренном треугольнике $$A_1B_1C_1$$ имеем $$A_1E=B_1E=\frac{A_1B_1}{2}$$, поэтому $$CE \perp A_1B_1$$.

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем $$AF=BF=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}$$, значит $$CF \perp AB$$. Тогда

$$CF=\sqrt{AC^2-AF^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Для призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ прямая $$EF$$ перпендикулярна $$AB$$, а значит в плоскости $$CEF$$ угол $$\angle ECF$$ является искомым двугранным углом между плоскостями $$ABC$$ и $$CA_1B_1$$.

В прямоугольном треугольнике $$ECF$$:

$$\tan \angle ECF=\frac{EF}{CF}.$$

Так как все рёбра призмы равны $$1$$, то $$EF=1$$. Следовательно,

$$\tan \angle ECF=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Ответ

$$\frac{2}{\sqrt{3}}$$