Упр.799 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Какому условию должны удовлетворять радиусы трёх шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?

Пусть радиусы шаров равны $$r_1\ge r_2\ge r_3$$, а точки касания общей касательной плоскости с шарами — $$A_1, A_2, A_3$$.

Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центры шаров и перпендикулярной общей касательной плоскости. Тогда шары перейдут в окружности, касающиеся одной прямой в точках $$A_1, A_2, A_3$$.

Для двух касающихся окружностей с радиусами $$r_i$$ и $$r_j$$ расстояние между точками касания их общей касательной равно

$$A_iA_j=\sqrt{(r_i+r_j)^2-(r_i-r_j)^2}=2\sqrt{r_ir_j}.$$

Следовательно,

$$A_1A_2=2\sqrt{r_1r_2},\qquad A_1A_3=2\sqrt{r_1r_3},\qquad A_2A_3=2\sqrt{r_2r_3}.$$

Так как $$r_1\ge r_2\ge r_3$$, то

$$A_1A_2\ge A_1A_3\ge A_2A_3.$$

Чтобы точки $$A_1, A_2, A_3$$ лежали на одной прямой, должно выполняться

$$A_1A_3+A_2A_3=A_1A_2.$$

Подставим найденные выражения:

$$2\sqrt{r_1r_3}+2\sqrt{r_2r_3}=2\sqrt{r_1r_2}.$$

Делим на $$2$$ и выносим $$\sqrt{r_3}$$:

$$(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})\sqrt{r_3}=\sqrt{r_1r_2}.$$

Отсюда

$$r_3=\frac{r_1r_2}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})^2}.$$

Итак, общая касательная плоскость существует тогда и только тогда, когда радиусы удовлетворяют этому соотношению.

Ответ: $$r_3=\dfrac{r_1r_2}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})^2}$$ при $$r_1\ge r_2\ge r_3$$.