Упр.799 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Какому условию должны удовлетворять радиусы трёх шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?

Пусть шары с центрами $$O_1,\ O_2,\ O_3$$ и радиусами $$r_1,\ r_2,\ r_3$$ попарно касаются друг друга. Без ограничения общности будем считать, что $$r_1 \ge r_2 \ge r_3.$$

Пусть общая касательная плоскость касается шаров в точках $$A_1,\ A_2,\ A_3.$$ Тогда отрезки $$O_1A_1,\ O_2A_2,\ O_3A_3$$ перпендикулярны этой плоскости, а значит, точки $$A_1,\ A_2,\ A_3$$ лежат в одной плоскости.

Рассмотрим расстояние между точками касания двух шаров. Для шаров радиусов $$r_i$$ и $$r_j$$ имеем

$$ A_iA_j=\sqrt{(r_i+r_j)^2-(r_i-r_j)^2}=2\sqrt{r_ir_j}. $$

Следовательно,

$$ A_1A_2=2\sqrt{r_1r_2},\qquad A_1A_3=2\sqrt{r_1r_3},\qquad A_2A_3=2\sqrt{r_2r_3}. $$

Так как $$r_1 \ge r_2 \ge r_3,$$ то

$$ A_1A_2 \ge A_1A_3 \ge A_2A_3. $$

Чтобы точки $$A_1,\ A_2,\ A_3$$ лежали на одной прямой, должно выполняться

$$ A_1A_3+A_2A_3=A_1A_2. $$

Подставим найденные выражения:

$$ 2\sqrt{r_1r_3}+2\sqrt{r_2r_3}=2\sqrt{r_1r_2}. $$

Делим на $$2$$:

$$ (\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})\sqrt{r_3}=\sqrt{r_1r_2}. $$

Отсюда

$$ r_3=\frac{r_1r_2}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})^2}. $$

Итак, общая касательная плоскость к трём попарно касающимся шарам существует тогда и только тогда, когда радиусы удовлетворяют этому условию.

Ответ

$$ r_3=\frac{r_1r_2}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})^2} $$
(при $$r_1 \ge r_2 \ge r_3$$).