Упр.798 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В тетраэдр с высотами h_1, h_2, h_3, h_4 вписан шар радиуса R. Докажите, что 1/R=1/h_1+1/h_2+1/h_3+1/h_4.

Подробный ответ

Обозначим объём тетраэдра через $$V$$, а площади его граней — через $$S_1, S_2, S_3, S_4$$. Пусть к грани с площадью $$S_i$$ проведена высота $$h_i$$.

Тогда объём тетраэдра можно выразить через любую из его высот:

$$V=\frac{1}{3}S_i h_i,$$

откуда

$$S_i=\frac{3V}{h_i}.$$

Так как в тетраэдр вписан шар радиуса $$R$$, то центр шара $$O$$ находится на одинаковом расстоянии $$R$$ от всех граней тетраэдра. Значит, тетраэдр разбивается на четыре пирамиды с общим вершиной $$O$$, основаниями которых служат грани тетраэдра, а высота каждой такой пирамиды равна $$R$$.

Сумма объёмов этих четырёх пирамид равна объёму тетраэдра:

$$V=\sum_{i=1}^{4}\frac{1}{3}S_iR.$$

Подставим сюда выражение $$S_i=\frac{3V}{h_i}$$:

$$ V=\sum_{i=1}^{4}\frac{1}{3}\cdot \frac{3V}{h_i}\cdot R =VR\sum_{i=1}^{4}\frac{1}{h_i}. $$

Так как $$V\neq 0$$, сокращаем на $$V$$:

$$1=R\left(\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_3}+\frac{1}{h_4}\right).$$

Следовательно,

$$\frac{1}{R}=\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_3}+\frac{1}{h_4}.$$