Упр.797 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите множество всех таких точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые.

Подробный ответ

Пусть из точки $$D$$ к сфере проведены касательные $$DA$$, $$DB$$ и $$DC$$, причём они попарно перпендикулярны.

Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OA\perp DA,\quad OB\perp DB,\quad OC\perp DC.$$

Так как $$OA=OB=OC=R$$ и $$DO$$ — общая гипотенуза прямоугольных треугольников $$\triangle ADO$$, $$\triangle BDO$$, $$\triangle CDO$$, то

$$\triangle ADO\cong \triangle BDO\cong \triangle CDO,$$

откуда

$$DA=DB=DC.$$

Следовательно, прямоугольные треугольники $$\triangle ADB$$, $$\triangle BDC$$, $$\triangle ADC$$ равны, значит

$$AB=BC=CA.$$

Итак, треугольник $$ABC$$ равносторонний. Обозначим через $$H$$ его центр. Тогда прямая $$DH$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, а точка $$O$$ тоже лежит на этой перпендикулярной к плоскости прямой, значит $$D,H,O$$ коллинеарны.

Пусть $$DA=a$$. В прямоугольном треугольнике $$ABD$$:

$$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2.$$

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ радиус описанной окружности равен

$$AH=\frac{AB}{\sqrt3}=\frac{a\sqrt2}{\sqrt3}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OHA$$ и $$ODA$$. Они подобны, поэтому

$$\frac{OH}{OD}=\frac{AH}{AD}=\frac{a\sqrt2/\sqrt3}{a}=\sqrt{\frac23}.$$

Так как $$OA=R$$ и $$OA^2=OH^2+AH^2$$, то

$$R^2=OH^2+\frac{2a^2}{3}.$$

Из подобия также получаем

$$OH=\frac{R}{\sqrt3},$$

а значит

$$OD=\frac{OH}{\sqrt{2/3}}=\frac{R}{\sqrt3}\cdot \sqrt{\frac32}=\frac{R\sqrt6}{2}.$$