Упр.796 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар.

Рассмотрим одну из плоскостей $$\gamma$$, проходящих через прямую $$a$$. Сечение шара этой плоскостью — окружность.

Обозначим через $$C$$ центр этой окружности. Тогда радиус, проведённый в точку касания сечения, перпендикулярен касательной, а значит, если $$CA \perp a$$, то и $$OC \perp CA$$, поскольку $$OC$$ перпендикулярен плоскости $$\gamma$$, а $$CA \subset \gamma$$.

Пусть $$\beta$$ — плоскость $$OAC$$. Так как $$a \subset \gamma$$ и $$CA \perp a$$, то плоскость $$\beta$$ перпендикулярна плоскости $$\gamma$$. Следовательно, линия пересечения этих плоскостей проходит через $$CA$$ и перпендикулярна $$a$$.

В треугольнике $$OCA$$ угол $$\angle OCA = 90^\circ$$, значит точки $$O, C, A$$ лежат на окружности с диаметром $$OA$$. Поэтому центр окружности сечения $$C$$ лежит на окружности, построенной в плоскости $$\beta$$ на диаметре $$OA$$.

Так как плоскость сечения может вращаться вокруг прямой $$a$$, то все возможные центры сечений заполняют дугу этой окружности, расположенную внутри шара. Эта дуга лежит в плоскости, перпендикулярной прямой $$a$$.

Итак, множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через прямую $$a$$, — это дуга окружности, лежащая в плоскости, перпендикулярной прямой $$a$$, и имеющая диаметр, равный расстоянию от центра шара до прямой $$a$$.