Упр.795 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд.
Пусть $$O$$ — центр сферы, а из точки $$M$$ проведены хорды $$MA$$, $$MB$$ и $$MD$$, причём $$MA \perp MB$$, $$MB \perp MD$$, $$MD \perp MA$$.
Рассмотрим хорды $$MA$$ и $$MB$$. Так как $$\angle AMB=90^\circ$$, то в окружности, проходящей через точки $$A$$, $$M$$, $$B$$, отрезок $$AB$$ является диаметром этой окружности. Значит, в прямоугольном треугольнике $$AMB$$
$$AB^2=MA^2+MB^2.$$
Теперь рассмотрим плоскость, содержащую прямые $$MA$$ и $$MB$$. Поскольку $$MD \perp MA$$ и $$MD \perp MB$$, то $$MD \perp (AMB)$$, то есть прямая $$MD$$ перпендикулярна всей этой плоскости.
Проведём через точку $$M$$ прямую $$MH$$, перпендикулярную $$AB$$ в плоскости $$AMB$$. Тогда $$MH$$ лежит в плоскости $$AMB$$ и, следовательно, $$MH \perp AB$$. Кроме того, так как $$MD \perp (AMB)$$, то $$MD \perp MH$$.
Следовательно, плоскость $$MHD$$ перпендикулярна прямой $$AB$$, а значит, точка $$D$$ лежит на прямой, проходящей через центр окружности, построенной на диаметре $$AB$$, и перпендикулярной плоскости $$AMB$$. Отсюда получаем, что $$CD$$ — диаметр сферы, и потому
$$CD^2=DC^2=AB^2+MD^2.$$
Подставляя $$AB^2=MA^2+MB^2$$, имеем
$$CD^2=MA^2+MB^2+MD^2.$$
Но $$CD$$ — диаметр сферы, а значит, его длина постоянна и не зависит от положения хорд. Следовательно, сумма квадратов длин трёх попарно перпендикулярных хорд тоже не зависит от их положения.
