Упр.795 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр сферы, а через $$M$$ — общую точку трёх хорд $$MA$$, $$MB$$ и $$MD$$, причём $$MA \perp MB$$, $$MB \perp MD$$, $$MD \perp MA$$.

Рассмотрим хорды $$MA$$ и $$MB$$. Так как $$MA \perp MB$$, то угол $$\angle AMB = 90^\circ$$. Следовательно, в окружности, лежащей в плоскости $$MAB$$, хорда $$AB$$ является диаметром.

Проведём через точки $$A$$, $$B$$, $$M$$ прямоугольник $$MABC$$ так, чтобы $$AB$$ и $$MC$$ были его диагоналями. Тогда

$$MC=AB.$$

Обозначим точку пересечения диагоналей $$AB$$ и $$CM$$ через $$H$$. Тогда $$H$$ — середина обеих диагоналей прямоугольника, а значит, прямая $$OH$$ перпендикулярна плоскости $$MAB$$.

Так как $$MD \perp MA$$ и $$MD \perp MB$$, то $$MD \perp (MAB)$$. Следовательно, $$MD \parallel OH$$.

Поскольку $$OH$$ проходит через центр сферы и параллельна хорде $$MD$$, то точки $$O$$, $$H$$ и $$D$$ лежат на одной прямой. Значит, прямая $$CD$$ проходит через центр сферы, то есть $$CD$$ — диаметр сферы.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$CMD$$ имеем

$$CD^2=CM^2+MD^2.$$

Но $$CD$$ — диаметр сферы, значит $$CD=2R$$, где $$R$$ — радиус сферы. Кроме того, из прямоугольного треугольника $$MAB$$:

$$AB^2=MA^2+MB^2.$$

Так как $$CM=AB$$, получаем

$$CD^2=AB^2+MD^2=(MA^2+MB^2)+MD^2.$$

Следовательно,

$$MA^2+MB^2+MD^2=CD^2,$$

а это величина постоянная, так как $$CD$$ — диаметр сферы.