Упр.794 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Все плоские углы тетраэдра $$OABC$$ при вершине $$O$$ прямые. Докажите, что проекция вершины $$O$$ на плоскость $$ABC$$ есть точка пересечения высот треугольника $$ABC$$.

Обозначим через $$O_1$$ проекцию точки $$O$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$OO_1 \perp (ABC)$$.

Рассмотрим векторы:

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}, \qquad \overrightarrow{O_1A}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO_1}.$$

Так как плоские углы тетраэдра при вершине $$O$$ прямые, то

$$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}, \qquad \overrightarrow{OB}\perp \overrightarrow{OC}, \qquad \overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{OA}.$$

Кроме того, $$OO_1 \perp (ABC)$$, значит $$\overrightarrow{OO_1}\perp \overrightarrow{BC}$$.

Тогда

$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{O_1A} =(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO_1})$$

$$=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OO_1} -\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OO_1}=0.$$

Следовательно, $$BC\perp O_1A$$.

Аналогично получаем:

$$CA\perp O_1B, \qquad AB\perp O_1C.$$

Значит, точка $$O_1$$ лежит на всех трёх высотах треугольника $$ABC$$, то есть является их точкой пересечения.

Ответ

Проекция вершины $$O$$ на плоскость $$ABC$$ — это точка пересечения высот треугольника $$ABC$$.