Упр.794 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что проекция вершины О на плоскость АВС есть точка пересечения высот треугольника АВС.

Подробный ответ

Обозначим через $$O_1$$ проекцию точки $$O$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$OO_1 \perp (ABC)$$.

Докажем, что $$O_1$$ лежит на всех высотах треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим векторы:

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}, \qquad \overrightarrow{O_1A}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO_1}.$$

Так как плоские углы тетраэдра при вершине $$O$$ прямые, то

$$OA \perp OB,\qquad OB \perp OC,\qquad OC \perp OA.$$

Кроме того, поскольку $$OO_1 \perp (ABC)$$, то $$OO_1 \perp BC$$.

Тогда

$$ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{O_1A} = (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO_1}). $$

Раскроем скобки:

$$ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{O_1A} = \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OO_1} -\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OO_1}. $$

Здесь

$$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=0,\qquad \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}=0,$$

так как $$OC \perp OA$$ и $$OB \perp OA$$. Также

$$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OO_1} = \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OO_1}=0,$$

поскольку $$OO_1 \perp (ABC)$$, а векторы $$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC}$$ лежат в плоскости $$ABC$$.

Следовательно,

$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{O_1A}=0,$$

то есть $$BC \perp O_1A$$. Значит, $$O_1A$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Аналогично получаем:

$$AC \perp O_1B,\qquad AB \perp O_1C.$$

Следовательно, точка $$O_1$$ является точкой пересечения высот треугольника $$ABC$$.