Упр.793 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Три боковых ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими рёбрами и пересекающая плоскость основания, перпендикулярна к этой плоскости.

Пусть $$\vec{DA},\ \vec{DB},\ \vec{DC}$$ — векторы боковых рёбер тетраэдра, а прямая $$DH$$ пересекает плоскость $$ABC$$ в точке $$H$$. По условию

$$AD=BD=CD=a,\qquad \angle ADH=\angle BDH=\angle CDH=\varphi.$$

Тогда скалярные произведения равны:

$$\vec{DA}\cdot\vec{DH}=\vec{DB}\cdot\vec{DH}=\vec{DC}\cdot\vec{DH}=a\cdot DH\cdot \cos\varphi.$$

Вычтем из первых двух равенств и из первого и третьего:

$$\bigl(\vec{DB}-\vec{DA}\bigr)\cdot\vec{DH}=0,$$

$$\bigl(\vec{DC}-\vec{DA}\bigr)\cdot\vec{DH}=0.$$

Но

$$\vec{DB}-\vec{DA}=\vec{AB},\qquad \vec{DC}-\vec{DA}=\vec{AC},$$

значит,

$$\vec{AB}\cdot\vec{DH}=0,\qquad \vec{AC}\cdot\vec{DH}=0.$$

Следовательно,

$$DH\perp AB,\qquad DH\perp AC.$$

Прямые $$AB$$ и $$AC$$ пересекаются и лежат в плоскости $$ABC$$, поэтому прямая $$DH$$ перпендикулярна всей плоскости $$ABC$$.

Что и требовалось доказать.