Упр.792 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра перпендикулярны.

Подробный ответ

Пусть $$AA_1,\;BB_1,\;CC_1,\;DD_1$$ — высоты тетраэдра $$ABCD$$.

Доказательство

1. Необходимость. Допустим, что высоты пересекаются в одной точке $$K$$. Проведём через ребро $$DC$$ плоскость $$ABK$$; пусть она пересекает прямую $$DC$$ в точке $$L$$.

Так как $$AA_1 \perp (BCD)$$ и $$DC \subset (BCD),$$ то $$AA_1 \perp DC.$$ Аналогично $$BB_1 \perp DC.$$

Поскольку $$AA_1 \subset (ABL)$$ и $$BB_1 \subset (ABL),$$ то прямая $$DC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AA_1$$ и $$BB_1$$ плоскости $$ABL$$, значит

$$DC \perp (ABL).$$

Отсюда $$DC \perp AB.$$ Аналогично получаем

$$BD \perp AC,\qquad AD \perp BC.$$

2. Достаточность. Теперь пусть

$$DC \perp AB,\qquad BD \perp AC,\qquad AD \perp BC.$$

Докажем, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.

Так как $$AA_1 \perp (BCD),$$ то $$AA_1 \perp DC.$$ Кроме того, $$AB \perp DC.$$ Следовательно, прямая $$DC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AA_1$$ и $$AB$$ плоскости $$ABA_1,$$ значит

$$DC \perp (ABA_1).$$

Пусть $$BB_2$$ — высота треугольника $$ABL$$, то есть $$BB_2 \perp AL$$ и $$BB_2 \subset (ABL).$$ Поскольку $$DC \perp (ABL),$$ имеем $$BB_2 \perp DC.$$

Кроме того, $$BB_2 \perp AL,$$ а прямая $$DC$$ лежит в плоскости $$ADC$$ и $$AL \subset (ADC),$$ значит $$BB_2 \perp (ADC).$$ Следовательно, $$BB_2$$ совпадает с высотой $$BB_1$$ тетраэдра.

Аналогично показывается, что и остальные высоты проходят через ту же точку. Значит, все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.

Итак, высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра попарно перпендикулярны.