Упр.792 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра перпендикулярны.

Подробный ответ

Докажем сначала необходимость.

Пусть высоты тетраэдра $$ABCD$$ пересекаются в точке $$K$$. Обозначим через $$L$$ точку пересечения прямой $$DC$$ с плоскостью $$ABK$$.

Так как $$AA_1 \perp BCD$$ и $$DC \subset BCD$$, то $$AA_1 \perp DC$$. Аналогично, из $$BB_1 \perp ACD$$ и $$DC \subset ACD$$ получаем $$BB_1 \perp DC$$.

Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ лежат в плоскости $$ABK$$, а обе эти прямые перпендикулярны $$DC$$, то $$DC \perp ABK$$. Следовательно, $$DC \perp AB$$.

Аналогично доказывается, что

$$BD \perp AC,\qquad AD \perp BC.$$

Теперь докажем обратное утверждение. Пусть

$$DC \perp AB,\qquad BD \perp AC,\qquad AD \perp BC.$$

Так как $$AA_1 \perp BCD$$, то $$AA_1 \perp DC$$. Но $$AB \perp DC$$ по условию, значит плоскость $$ABA_1$$ перпендикулярна прямой $$DC$$.

Пусть $$BB_2$$ — высота треугольника $$ABL$$, то есть $$BB_2 \perp AL$$ и $$BB_2 \in ABL$$. Поскольку $$AB \subset ABL$$ и $$AB \perp DC$$, а также $$AL \subset ABL$$, то из $$BB_2 \perp AL$$ и $$BB_2 \perp AB$$ следует, что $$BB_2 \perp ABL$$. Значит, $$BB_2 \perp DC$$.

Кроме того, $$DC \subset ADC$$ и $$AL \subset ADC$$, поэтому $$BB_2 \perp DC$$ и $$BB_2 \perp AL$$ дают $$BB_2 \perp ADC$$. Следовательно, $$BB_2$$ совпадает с высотой $$BB_1$$ тетраэдра.

Аналогично показывается, что и остальные высоты тетраэдра проходят через ту же точку. Значит, все высоты пересекаются в одной точке.

Итак, высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра попарно перпендикулярны.