Упр.791 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Из точки $A$ исходят четыре луча $AB$, $AC$, $AD$ и $AE$ так, что $$\angle BAC=60^\circ$$, $$\angle BAD=\angle DAC=45^\circ$$, а луч $AE$ перпендикулярен к плоскости $ABD$. Найдите угол $CAE$.

Подробный ответ

Обозначим через $$a$$ длину отрезка $$AB$$. Тогда из условия $$\angle BAD=\angle DAC=45^\circ$$ следует, что $$\angle BAC=60^\circ$$, а луч $$AE$$ перпендикулярен плоскости $$ABD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$\angle BAC=60^\circ$$ и $$\angle BAD=45^\circ$$, то в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол при $$C$$ равен $$30^\circ$$. Значит, гипотенуза

$$AC=2AB=2a,$$

а катет

$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACD$$. В нём

$$DC=AC\sin 45^\circ=2a\cdot \frac{\sqrt2}{2}=a\sqrt2,$$

$$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{4a^2-2a^2}=a\sqrt2.$$

Найдём $$BD$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABD$$:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 45^\circ$$

$$BD^2=a^2+2a^2-2\cdot a\cdot a\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=a^2.$$

Следовательно, $$BD=a$$.

В треугольнике $$BDC$$ получаем:

$$BC^2=a^2\cdot 3,\qquad BD^2+DC^2=a^2+2a^2=3a^2.$$

Значит,

$$BC^2=BD^2+DC^2,$$

то есть треугольник $$BDC$$ прямоугольный, и $$CD\perp BD$$.

Так как $$CD\perp BD$$ и $$CD\perp AD$$, то $$CD\perp (ABD)$$. Кроме того, $$AE\perp (ABD)$$, значит, прямые $$AE$$ и $$CD$$ параллельны.

Теперь угол $$\angle CAE$$ зависит от того, по одну или по разные стороны от плоскости $$ABD$$ лежат точки $$C$$ и $$E$$:

если $$C$$ и $$E$$ лежат по одну сторону от плоскости $$ABD$$, то $$\angle CAE=\angle CAD=45^\circ$$;
если $$C$$ и $$E$$ лежат по разные стороны от плоскости $$ABD$$, то $$\angle CAE=180^\circ-\angle CAD=135^\circ$$.

Ответ: $$45^\circ$$ или $$135^\circ$$.