Упр.790 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основание АВС тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание АВС под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоположном направлении по отношению к входящему лучу.

Введём систему координат так, чтобы оси были направлены вдоль рёбер тетраэдра: $$OX \parallel OA,\quad OY \parallel OB,\quad OZ \parallel OC.$$

Пусть направляющий вектор падающего луча равен $$\vec a_1=(x,y,z).$$

При отражении от плоскости $$AOB$$ меняется знак у компоненты, перпендикулярной этой плоскости, поэтому направляющий вектор станет

$$\vec a_2=(x,y,-z).$$

После отражения от плоскости $$AOC$$ меняются знаки у компонент, перпендикулярных этой плоскости, и получаем

$$\vec a_3=(x,-y,-z).$$

После отражения от плоскости $$BOC$$ направляющий вектор станет

$$\vec a_4=(-x,-y,-z).$$

Следовательно, после отражения от всех трёх зеркальных граней луч выйдет с направляющим вектором

$$\vec a_4=-\vec a_1.$$

Значит, вышедший луч параллелен входящему, но направлен в противоположную сторону. Что и требовалось доказать.