Упр.79 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение: а) плоскостью $$ABC_1$$; б) плоскостью $$ACC_1$$. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами.
а) Рассмотрим сечение плоскостью $$ABC_1$$.
Плоскость $$BB_1C_1C$$ параллельна плоскости $$AA_1D_1D$$, так как это противоположные грани параллелепипеда. Поэтому прямая $$BC_1$$, лежащая в плоскости $$BB_1C_1C$$, параллельна плоскости $$AA_1D_1D$$.
Плоскости $$ABC_1$$ и $$AA_1D_1D$$ имеют общую точку $$A$$, значит, линия их пересечения проходит через $$A$$ и параллельна $$BC_1$$. Следовательно, это прямая $$AD_1$$.
Итак, сечение — четырёхугольник $$ABC_1D_1$$.
Докажем, что он является параллелограммом:
$$AB \parallel C_1D_1,\qquad AB=C_1D_1$$
Действительно, $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$, а также $$CD \parallel C_1D_1$$ и $$CD=C_1D_1$$, так как противоположные рёбра параллелепипеда попарно параллельны и равны. Значит, $$AB \parallel C_1D_1$$ и $$AB=C_1D_1$$.
Следовательно, $$ABC_1D_1$$ — параллелограмм.
б) Рассмотрим сечение плоскостью $$ACC_1$$.
Плоскости граней $$B_1C_1CB$$ и $$AA_1D_1D$$ пересечены плоскостью $$ACC_1$$ по параллельным прямым, так как $$AA_1 \parallel CC_1$$. Поэтому линия пересечения плоскости $$ACC_1$$ с гранью $$AA_1D_1D$$ проходит через точку $$A$$ и параллельна $$CC_1$$, то есть это прямая $$AA_1$$.
Аналогично, с гранью $$B_1C_1CB$$ плоскость $$ACC_1$$ пересекается по прямой $$CC_1$$.
Значит, сечение — четырёхугольник $$ACC_1A_1$$.
Докажем, что он является параллелограммом:
$$AA_1 \parallel CC_1,\qquad AA_1=CC_1$$
Так как в параллелепипеде противоположные рёбра равны и параллельны, то $$AA_1 \parallel CC_1$$ и $$AA_1=CC_1$$. Следовательно, $$ACC_1A_1$$ — параллелограмм.
