Упр.79 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение: а) плоскостью ABC1; б) плоскостью ACC1. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами.

Подробный ответ

а) Сечение плоскостью $$ABC_1$$.

Плоскость $$BB_1C_1C$$ параллельна плоскости $$AA_1D_1D$$, значит, прямая $$BC_1$$, лежащая в плоскости $$BB_1C_1C$$, параллельна плоскости $$AA_1D_1D$$.

Плоскости $$ABC_1$$ и $$AA_1D_1D$$ имеют общую точку $$A$$. Следовательно, линия их пересечения проходит через точку $$A$$ и параллельна прямой $$BC_1$$. Эта линия — $$AD$$.

Значит, сечение параллелепипеда плоскостью $$ABC_1$$ — четырёхугольник $$ABC_1D_1$$.

Докажем, что $$ABC_1D_1$$ — параллелограмм:

$$AB \parallel CD,\quad CD \parallel C_1D_1 \Rightarrow AB \parallel C_1D_1,$$

$$AB = CD,\quad CD = C_1D_1 \Rightarrow AB = C_1D_1.$$

Итак, в четырёхугольнике $$ABC_1D_1$$ одна пара противоположных сторон параллельна и равна. Следовательно, $$ABC_1D_1$$ — параллелограмм.

б) Сечение плоскостью $$ACC_1$$.

Плоскости граней $$B_1C_1CB$$ и $$AD D_1A_1$$ пересечены плоскостью $$ACC_1A_1$$ по прямым, проходящим через точку $$C$$ и параллельным $$AA_1$$. Поэтому

$$AA_1 \parallel CC_1,$$

$$AA_1 = CC_1.$$

Следовательно, четырёхугольник $$ACC_1A_1$$ — параллелограмм.

Итак, сечение плоскостью $$ACC_1$$ — параллелограмм $$ACC_1A_1$$.