Упр.789 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

Подробный ответ

Пусть $$\overrightarrow{AB}=\vec a,\quad \overrightarrow{AD}=\vec b,\quad \overrightarrow{AA_1}=\vec c.$$ Тогда остальные рёбра параллелепипеда выражаются через эти векторы.

Найдём векторы четырёх пространственных диагоналей:

$$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_1}=\vec a+\vec b+\vec c,$$
$$\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_1}=-\vec a+\vec b+\vec c,$$
$$\overrightarrow{CA_1}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AA_1}=-\vec a-\vec b+\vec c,$$
$$\overrightarrow{DB_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BB_1}=\vec a-\vec b+\vec c.$$

Возведём их в квадрат:

$$\overrightarrow{AC_1}^{\,2}=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}+2\vec a\vec b+2\vec a\vec c+2\vec b\vec c,$$
$$\overrightarrow{BD_1}^{\,2}=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}-2\vec a\vec b-2\vec a\vec c+2\vec b\vec c,$$
$$\overrightarrow{CA_1}^{\,2}=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}+2\vec a\vec b-2\vec a\vec c-2\vec b\vec c,$$
$$\overrightarrow{DB_1}^{\,2}=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}-2\vec a\vec b+2\vec a\vec c-2\vec b\vec c.$$

Сложим эти равенства. Слагаемые с произведениями векторов взаимно уничтожаются, и получаем:

$$\overrightarrow{AC_1}^{\,2}+\overrightarrow{BD_1}^{\,2}+\overrightarrow{CA_1}^{\,2}+\overrightarrow{DB_1}^{\,2}=4\vec a^{\,2}+4\vec b^{\,2}+4\vec c^{\,2}.$$

Но $$\vec a^{\,2}=AB^2,\quad \vec b^{\,2}=AD^2,\quad \vec c^{\,2}=AA_1^2,$$ а также
$$AB=DC=A_1B_1=D_1C_1,\quad AD=BC=A_1D_1=B_1C_1,\quad AA_1=BB_1=CC_1=DD_1.$$

Значит,
$$4\vec a^{\,2}+4\vec b^{\,2}+4\vec c^{\,2}$$
равно сумме квадратов всех 12 рёбер параллелепипеда.

Следовательно, сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов его двенадцати рёбер.