Упр.789 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

Подробный ответ

Пусть $$\overrightarrow{AB}=\vec a,$$ $$\overrightarrow{AD}=\vec b,$$ $$\overrightarrow{AA_1}=\vec c.$$ Тогда остальные рёбра параллелепипеда выражаются через эти векторы.

Найдём векторы четырёх пространственных диагоналей:

$$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_1}=\vec a+\vec b+\vec c,$$

$$\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_1}=-\vec a+\vec b+\vec c,$$

$$\overrightarrow{CA_1}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AA_1}=-\vec a-\vec b+\vec c,$$

$$\overrightarrow{DB_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BB_1}=\vec a-\vec b+\vec c.$$

Возведём их в квадрат:

$$ \overrightarrow{AC_1}^{\,2}=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}+2\vec a\vec b+2\vec a\vec c+2\vec b\vec c, $$

$$ \overrightarrow{BD_1}^{\,2}=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}-2\vec a\vec b-2\vec a\vec c+2\vec b\vec c, $$

$$ \overrightarrow{CA_1}^{\,2}=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}+2\vec a\vec b-2\vec a\vec c-2\vec b\vec c, $$

$$ \overrightarrow{DB_1}^{\,2}=\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}-2\vec a\vec b+2\vec a\vec c-2\vec b\vec c. $$

Сложим эти равенства:

$$ \overrightarrow{AC_1}^{\,2}+\overrightarrow{BD_1}^{\,2}+\overrightarrow{CA_1}^{\,2}+\overrightarrow{DB_1}^{\,2} =4\vec a^{\,2}+4\vec b^{\,2}+4\vec c^{\,2}. $$

Но $$\vec a^{\,2}=AB^2,$$ $$\vec b^{\,2}=AD^2=BC^2,$$ $$\vec c^{\,2}=AA_1^2=BB_1^2,$$ а также равные им рёбра параллелепипеда: $$DC^2=AB^2,$$ $$A_1B_1^2=AB^2,$$ $$D_1C_1^2=AB^2,$$ и т. д. Поэтому

$$ 4\vec a^{\,2}+4\vec b^{\,2}+4\vec c^{\,2} = (AB^2+DC^2+A_1B_1^2+D_1C_1^2) +(AD^2+BC^2+A_1D_1^2+B_1C_1^2) +(AA_1^2+BB_1^2+CC_1^2+DD_1^2). $$

Правая часть — это сумма квадратов всех двенадцати рёбер параллелепипеда. Следовательно, сумма квадратов четырёх его диагоналей равна сумме квадратов двенадцати рёбер.