Упр.788 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильном треугольнике $ABC$ сторона равна $$a$$. На сонаправленных лучах $$BD$$ и $$CE$$, перпендикулярных к плоскости $$ABC$$, взяты точки $$D$$ и $$E$$ так, что $$BD=\frac{a}{\sqrt{2}}$$, $$CE=a\sqrt{2}$$. Докажите, что треугольник $$ADE$$ прямоугольный, и найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADE$$.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — точка пересечения прямой $$ED$$ с прямой $$BC$$, а $$F$$ — основание перпендикуляра из $$D$$ на $$EC$$. Тогда $$DF \parallel BC$$, а так как $$BD \perp (ABC)$$ и $$CE \perp (ABC)$$, то $$BD \parallel CE$$.

Из равенства сонаправленных перпендикуляров получаем:

$$EF=CE-FC=a\sqrt2-\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a\sqrt2}{2},$$

$$DF=BD=\frac{a}{\sqrt2}, \qquad HB=BC=a.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники:

$$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=a\sqrt{\frac32},$$

$$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt3,$$

$$DE=\sqrt{DF^2+EF^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}}=a.$$

Теперь в треугольнике $$ADE$$:

$$AD^2+DE^2=a^2\cdot\frac32+a^2=\frac52a^2,$$

$$AE^2=3a^2.$$

Проверим точнее через найденные длины:

$$AD^2+DE^2=a^2\cdot\frac32+a^2=\frac52a^2,$$

$$AE^2=3a^2.$$

Используем координатный подход, чтобы установить прямой угол. Так как $$BD \perp (ABC)$$ и $$CE \perp (ABC)$$, удобно считать, что

$$B(0,0,0), \quad C(a,0,0), \quad A\left(\frac a2,\frac{a\sqrt3}{2},0\right),$$

$$D\left(0,0,\frac{a}{\sqrt2}\right), \quad E\left(a,0,a\sqrt2\right).$$

Тогда

$$\overrightarrow{AD}=\left(-\frac a2,-\frac{a\sqrt3}{2},\frac{a}{\sqrt2}\right), \qquad \overrightarrow{AE}=\left(\frac a2,-\frac{a\sqrt3}{2},a\sqrt2\right).$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=-\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}+a^2\cdot\frac{1}{\sqrt2}\cdot\sqrt2=0.$$

Значит, $$AD \perp AE$$, следовательно, $$\triangle ADE$$ прямоугольный.

Найдём угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADE$$. Линия их пересечения — $$AD$$, поэтому искомый угол равен углу между прямыми, перпендикулярными $$AD$$ в этих плоскостях. Удобно взять угол $$\angle EAC$$, так как $$AC \subset (ABC)$$ и $$AE \subset (ADE)$$.

В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:

$$\cos \angle EAC=\frac{AC}{AE}=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Следовательно,

$$\angle(ABC, ADE)=\angle EAC=\arccos\frac{\sqrt3}{3}.$$