Упр.787 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильном треугольнике АВС сторона равна а. Отрезок AS длины а перпендикулярен к плоскости АВС. Найдите расстояние и угол между прямыми АВ и SC.

Подробный ответ

Достроим правильный треугольник $$ABC$$ до параллелограмма $$ABCD$$. Тогда $$DC \parallel AB$$, а значит, угол между прямыми $$AB$$ и $$SC$$ равен углу между прямыми $$DC$$ и $$SC$$, то есть $$\angle(AB,SC)=\angle SCD$$.

Найдём длины рёбер тетраэдра. Так как $$AS \perp (ABC)$$ и $$AS=AB=a$$, то в прямоугольных треугольниках $$ABS$$, $$ACS$$ и $$ADS$$ получаем:

$$SB=\sqrt{AB^2+AS^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2},$$
$$SC=SD=\sqrt{AC^2+AS^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

В треугольнике $$SCD$$ точка $$M$$ — середина отрезка $$DC$$, поэтому $$DM=MC=\dfrac{a}{2}$$. Так как $$SD=SC$$, то медиана $$SM$$ является высотой, следовательно, $$SM \perp DC$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$SCM$$:

$$\cos \angle SCD=\frac{MC}{SC}=\frac{a/2}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Значит,

$$\angle(AB,SC)=\angle SCD=\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Теперь найдём расстояние между прямыми $$AB$$ и $$SC$$. Это расстояние равно высоте тетраэдра $$ASCD$$, то есть отрезку $$AH$$, где $$AH \perp (SCD)$$.

Найдём площадь треугольника $$SCD$$:

$$SM=\sqrt{SC^2-CM^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2},$$
$$S_{SCD}=\frac{1}{2}\cdot CD \cdot SM=\frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{a\sqrt{7}}{2}=\frac{a^2\sqrt{7}}{4}.$$

С другой стороны, в равностороннем треугольнике $$ACD$$:

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AD \cdot DC \cdot \sin 60^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Объём тетраэдра $$ASCD$$ можно выразить двумя способами:

$$V_{ASCD}=\frac{1}{3}S_{SCD}\cdot AH=\frac{1}{3}S_{ACD}\cdot AS.$$

Подставим найденные площади и $$AS=a$$:

$$\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{7}}{4}\cdot AH=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a,$$
$$AH=a\sqrt{\frac{3}{7}}.$$

Следовательно, расстояние между прямыми $$AB$$ и $$SC$$ равно $$a\sqrt{\frac{3}{7}}$$.