Упр.787 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильном треугольнике $$ABC$$ сторона равна $$a$$. Отрезок $$AS$$ длины $$a$$ перпендикулярен к плоскости $$ABC$$. Найдите расстояние и угол между прямыми $$AB$$ и $$SC$$.

Обозначим через $$d$$ расстояние между прямыми $$AB$$ и $$SC$$, а через $$\varphi$$ — угол между ними.

Достроим правильный треугольник $$ABC$$ до параллелограмма $$ABCD$$. Тогда $$DC \parallel AB$$, значит угол между прямыми $$AB$$ и $$SC$$ равен углу $$\angle SCD$$.

Найдём длины рёбер тетраэдра $$ASCD$$. Так как $$AS \perp (ABC)$$ и $$AS=AB=a$$, то в прямоугольном треугольнике $$ABS$$

$$SB=\sqrt{AB^2+AS^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2.$$

Следовательно, $$SC=SD=SB=a\sqrt2$$, а в параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$DC=AB=a$$.

Пусть $$M$$ — середина отрезка $$DC$$. Тогда $$SM \perp DC$$, и в прямоугольном треугольнике $$SCM$$

$$CM=\frac{DC}{2}=\frac a2, \qquad \cos\angle SCD=\frac{CM}{SC}=\frac{a/2}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}.$$

Значит,

$$\varphi=\angle(AB,SC)=\angle SCD=\arccos\frac{\sqrt2}{4}.$$

Теперь найдём расстояние между прямыми $$AB$$ и $$SC$$. Оно равно высоте тетраэдра $$ASCD$$, опущенной из точки $$A$$ на прямую $$SC$$. Обозначим основание этой высоты через $$H$$, тогда $$AH=d$$.

Найдём площадь треугольника $$SCD$$:

$$SM=\sqrt{SC^2-CM^2} =\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}} =\frac{a\sqrt7}{2},$$

$$S_{SCD}=\frac12\cdot DC\cdot SM =\frac12\cdot a\cdot \frac{a\sqrt7}{2} =\frac{a^2\sqrt7}{4}.$$

С другой стороны, в равностороннем треугольнике $$ACD$$

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AD\cdot DC\cdot \sin 60^\circ =\frac12\cdot a\cdot a\cdot \frac{\sqrt3}{2} =\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Объём тетраэдра $$ASCD$$ можно выразить двумя способами:

$$V_{ASCD}=\frac13 S_{SCD}\cdot AH =\frac13 S_{ACD}\cdot AS.$$

Подставим найденные значения:

$$\frac13\cdot \frac{a^2\sqrt7}{4}\cdot d = \frac13\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a.$$

Отсюда

$$d=a\sqrt{\frac37}.$$

Ответ: $$\angle(AB,SC)=\arccos\frac{\sqrt2}{4},\quad p(AB,SC)=a\sqrt{\frac37}.$$