Упр.786 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: A_1 A_2…A_12-правильный икосаэдр; O_1,O_2,…,O_20-центры всех граней икосаэдра;
Доказать: O_1 O_2…O_20-правильный додекаэдр;
Доказательство:
1) Прямая,соединяющая две противоположные вершины правильного икосаэдра является осью симметрии пятого порядка,поэтому икосаэдр совмещается с собой при повороте на 72;
2) Пусть икосаэдр вращается вокруг оси,которая проходит через вершину A_1,тогда при повороте на
72 точка O_1 переходит в O_2,O_2 в O_3,O_3 в O_4,O_4 в O_5, O_5 в O_1,значит O_1 O_2 O_3 O_4 O_5 является правильным;
3) Аналогично для осей проходящих через каждую вершину икосаэдра,значит все точки центров пяти соседних граней образуют правильный пятиугольник;
4) Двадцать точек центров граней образуют двенадцать правильных пятиугольников,они являются вершинами правильного додекаэдра,что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим правильный икосаэдр. У него есть ось симметрии пятого порядка: прямая, соединяющая две противоположные вершины. При повороте вокруг этой оси на $$72^\circ$$ икосаэдр совмещается сам с собой.

Пусть ось проходит через вершину $$A_1$$. Тогда при повороте на $$72^\circ$$ центры пяти граней, прилежащих к этой вершине, переходят друг в друга:

$$O_1 \to O_2,\quad O_2 \to O_3,\quad O_3 \to O_4,\quad O_4 \to O_5,\quad O_5 \to O_1.$$

Значит, точки $$O_1, O_2, O_3, O_4, O_5$$ лежат в одной плоскости и образуют правильный пятиугольник.

Аналогично, для каждой вершины икосаэдра центры пяти соседних граней образуют правильный пятиугольник. Всего у икосаэдра $$20$$ граней, поэтому центры всех его граней являются вершинами $$12$$ правильных пятиугольников.

Следовательно, многогранник, вершинами которого служат центры граней правильного икосаэдра, является правильным додекаэдром.