Упр.786 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.

Подробный ответ

Прямая, соединяющая две противоположные вершины правильного икосаэдра, является осью симметрии пятого порядка. Поэтому при повороте икосаэдра вокруг этой прямой на $$72^\circ$$ он совмещается сам с собой.

Рассмотрим ось, проходящую через вершину $$A_1$$. При повороте на $$72^\circ$$ центры пяти граней, прилежащих к этой вершине, переходят друг в друга:

$$O_1 \to O_2,\quad O_2 \to O_3,\quad O_3 \to O_4,\quad O_4 \to O_5,\quad O_5 \to O_1.$$

Значит, точки $$O_1, O_2, O_3, O_4, O_5$$ являются вершинами правильного пятиугольника.

Аналогично, для каждой вершины икосаэдра центры пяти соседних граней образуют правильный пятиугольник. Всего таких центров $$20$$, и они образуют $$12$$ правильных пятиугольников.

Следовательно, точки $$O_1, O_2, \ldots, O_{20}$$ являются вершинами правильного додекаэдра.