Упр.785 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.

Рассмотрим правильный додекаэдр. Известно, что у него есть оси симметрии третьего порядка: прямая, соединяющая две противоположные вершины, при повороте на $$120^\circ$$ переводит додекаэдр в себя.

Пусть ось симметрии проходит через вершину $$A_1$$. Тогда при повороте вокруг этой оси на $$120^\circ$$ три грани, сходящиеся в вершине $$A_1$$, переходят друг в друга. Следовательно, их центры $$O_1, O_2, O_3$$ также переходят друг в друга, то есть

$$O_1 \to O_2,\quad O_2 \to O_3,\quad O_3 \to O_1.$$

Значит, треугольник $$O_1O_2O_3$$ равносторонний.

Аналогично для каждой оси симметрии, проходящей через вершину додекаэдра, центры трёх соседних граней образуют равносторонний треугольник. Всего у додекаэдра 12 граней, поэтому 12 точек $$O_1, O_2, \ldots, O_{12}$$ соединяются так, что каждая из них является вершиной пяти равносторонних треугольников.

Следовательно, эти 12 точек являются вершинами правильного икосаэдра.

Ответ: центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.