Упр.784 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки АВ и CD перемещаются по скрещивающимся прямым. Докажите, что объём тетраэдра ABCD при этом не изменяется.

Подробный ответ

Пусть отрезок $$CD$$ перемещается в положение $$C’D’$$ по прямой $$b$$, а отрезок $$AB$$ остаётся неподвижным.

Тогда треугольники $$BCD$$ и $$BC’D’$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$B$$ на прямую $$b$$, а основания равны: $$CD=C’D’$$. Следовательно,

$$S_{BCD}=S_{BC’D’}.$$

Кроме того, точки $$C,D,C’,D’$$ лежат на одной прямой, а точка $$B$$ общая, значит треугольники $$BCD$$ и $$BC’D’$$ лежат в одной плоскости. Поэтому тетраэдры $$ABCD$$ и $$ABC’D’$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$A$$ на эту плоскость. Обозначим её через $$H$$.

Тогда

$$V_{ABCD}=\frac13 S_{BCD}\cdot H,\qquad V_{ABC’D’}=\frac13 S_{BC’D’}\cdot H.$$

Так как $$S_{BCD}=S_{BC’D’}$$, то

$$V_{ABCD}=V_{ABC’D’}.$$

Аналогично, если неподвижен отрезок $$CD$$, а перемещается $$AB$$, объём тетраэдра также не изменяется. Значит, при перемещении обоих отрезков $$AB$$ и $$CD$$ по скрещивающимся прямым объём тетраэдра $$ABCD$$ остаётся постоянным.