Упр.783 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Внутри куба с ребром $$1\text{ см}$$ расположена ломаная, причём любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает её не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше $$3\text{ см}$$. Докажите, что можно построить ломаную, обладающую указанным свойством, длина которой сколь угодно мало отличается от $$3\text{ см}$$.

Расположим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ так, чтобы вершина $$A$$ была началом координат, а оси были направлены вдоль рёбер куба:

$$OX \parallel AB,\qquad OY \parallel AD,\qquad OZ \parallel AA_1.$$

Пусть длины проекций ломаной на эти оси равны $$x,$$ $$y,$$ $$z.$$

По условию любая плоскость, параллельная грани куба, пересекает ломаную не более чем в одной точке. Значит, на каждую из осей проекции всех звеньев ломаной не накладываются друг на друга, и суммарные длины проекций не превосходят длины соответствующих рёбер куба:

$$x<1,\qquad y<1,\qquad z<1.$$

Если $$l$$ — длина ломаной, то для каждого её звена длина больше или равна длине его проекции на любую ось, а значит, для всей ломаной

$$l<x+y+z.$$

Следовательно,

$$l<1+1+1=3,$$

то есть длина ломаной меньше $$3$$ см.

Покажем, что это оценка точная. Возьмём ломаную, проходящую внутри куба очень близко к трём рёбрам, исходящим из одной вершины, например к рёбрам $$AB,$$ $$AD,$$ $$AA_1.$$ Тогда длины её проекций на оси $$OX,$$ $$OY,$$ $$OZ$$ будут сколь угодно близки к $$1,$$ и длина ломаной будет сколь угодно мало отличаться от

$$1+1+1=3.$$

Значит, можно построить ломаную указанного свойства, длина которой сколь угодно близка к $$3$$ см.

Ответ: $$l<3$$ см; можно построить ломаную длиной, сколь угодно близкой к $$3$$ см.