Упр.782 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.
Пусть прямоугольный параллелепипед составлен из конечного числа попарно различных кубов. Рассмотрим одну его грань и обозначим её через $$ABCD$$.
Среди всех кубов, из которых составлен параллелепипед, выберем куб с наименьшей стороной и обозначим её через $$a$$. Пусть этот куб примыкает к грани $$ABCD$$ и имеет грань $$MKNE$$.
Тогда к оставшейся части грани $$ABCD$$ можно приставить ещё два куба со сторонами $$b$$ и $$c$$, как показано на рисунке, причём они также примыкают к грани $$ABCD$$.
Теперь рассмотрим незаполненные участки грани параллелепипеда: $$PRKM$$ и $$RCTF$$. Чтобы заполнить их кубами, нужны кубы со стороной, не большей чем $$a$$. Но кубов со стороной меньше $$a$$ нет, а куб со стороной $$a$$ уже использован.
Получаем противоречие: конечным числом попарно различных кубов нельзя полностью заполнить грань прямоугольного параллелепипеда, а значит, нельзя составить и сам прямоугольный параллелепипед.
Следовательно, из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.
