Упр.781 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Докажите, что пересечение тетраэдров $$AB_1CD_1$$ и $$C_1BA_1D$$ есть правильный октаэдр.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и тетраэдры $$AB_1CD_1$$ и $$C_1BA_1D$$.

Их пересечение состоит из шести точек $$M, N, K, P, L, Q$$ — это точки пересечения соответствующих граней тетраэдров. Покажем, что полученная фигура является правильным октаэдром.

Точки $$A_1C_1$$ и $$B_1D_1$$ являются диагоналями одной грани куба $$A_1B_1C_1D_1$$, значит, их пересечение — центр этой грани. Обозначим его через $$Q$$. Тогда $$Q$$ — середина обеих диагоналей, то есть

$$A_1Q=QC_1,\qquad B_1Q=QD_1.$$

Аналогично для остальных граней куба получаем, что все вершины фигуры лежат в серединах граней куба.

Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда расстояние между серединами соседних граней, например $$M$$ и $$L$$, равно

$$ML=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}} =\sqrt{\frac{a^2}{2}} =\frac{a}{\sqrt2}.$$

Точно так же получаем, что все рёбра фигуры равны между собой. Следовательно, многогранник $$MNKPLQ$$ имеет 8 вершин и все его рёбра равны, значит, это правильный октаэдр.

Ответ: пересечение тетраэдров $$AB_1CD_1$$ и $$C_1BA_1D$$ — правильный октаэдр.