Упр.780 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба с ребром $$1\ \text{см}$$?

Правильный тетраэдр с наибольшим ребром, помещающийся в кубе, должен иметь вершины на вершинах куба. Действительно, если тетраэдр помещён в куб, то для максимальной длины ребра его вершины нужно расположить как можно дальше друг от друга, то есть на вершинах куба.

Тогда наибольшее ребро тетраэдра совпадает с диагональю грани куба. При ребре куба $$a=1\text{ см}$$ длина диагонали грани равна

$$AB_1=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}=\sqrt{2}\text{ см}.$$

Ответ: $$\sqrt{2}\text{ см}$$.