Упр.780 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: куб ABCDA_1 B_1 C_1 D_1; a=1 см;
Найти: максимальную длину ребра;
Решение:
1) Тетраэдр должен находиться внутри сферы,которая описана около данного куба,он будет иметь наибольшую длину ребра тогда,когда он будет вписан в данную сферу;
2) Куб и тетраэдр вписаны в одну сферу и тетраэдр вписан в куб,значит вершины тетраэдра лежат на вершинах куба;
3) Наибольшая длина ребра будет у вершин,находящихся на диагонали грани куба: AB_1=v(a+a)=v2a=v2 см;
Ответ: v2 см.

Подробный ответ

Правильный тетраэдр с наибольшим ребром, помещающийся в куб, можно рассматривать как вписанный в сферу, описанную около куба. Тогда его вершины должны лежать на вершинах куба.

Наибольшее расстояние между вершинами куба, которое может быть ребром такого тетраэдра, равно диагонали грани куба. При ребре куба $$a=1\text{ см}$$ имеем:

$$ AB_1=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}=\sqrt{2}\text{ см}. $$

Следовательно, максимальная длина ребра правильного тетраэдра равна $$\sqrt{2}\text{ см}$$.