Упр.78 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ha рисунке 42 изображен параллелепипедАВСВА^С^,, на ребрах которого отмечены точки M, N, Mi и N1 так, что AM = CN = = A1M1 =C1N1. Докажите, что MBNDM1BiNiD1 — параллелепипед.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$ и $$AB\parallel CD$$.

Из условия $$AM=CN$$, значит

$$BM=AB-AM=CD-CN=DN.$$

Кроме того, отрезки $$BM$$ и $$DN$$ лежат на параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$, поэтому $$BM\parallel DN$$. Следовательно, по признаку параллелограмма четырёхугольник $$MBND$$ — параллелограмм.

Аналогично, из равенства $$A_1M_1=C_1N_1$$ получаем

$$B_1M_1=A_1B_1-A_1M_1=C_1D_1-C_1N_1=D_1N_1,$$

причём $$B_1M_1\parallel D_1N_1$$. Значит, $$M_1B_1N_1D_1$$ — параллелограмм.

Теперь рассмотрим боковые рёбра параллелепипеда. Так как $$AM=A_1M_1$$, то четырёхугольник $$A_1M_1MA$$ — параллелограмм, откуда $$MM_1\parallel AA_1$$. Аналогично из $$CN=C_1N_1$$ получаем $$NN_1\parallel CC_1$$. Но в параллелепипеде $$AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1\parallel DD_1$$, значит

$$MM_1\parallel BB_1\parallel NN_1\parallel DD_1.$$

Следовательно, четырёхугольники $$MBB_1M_1$$ и $$NDD_1N_1$$ — параллелограммы.

Итак, у многогранника $$MBNDM_1B_1N_1D_1$$ противоположные грани попарно параллельны, значит это параллелепипед.