Упр.78 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На рисунке 42 изображён параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, на рёбрах которого отмечены точки $$M$$, $$N$$, $$M_1$$ и $$N_1$$ так, что $$AM=CN=A_1M_1=C_1N_1$$. Докажите, что $$MBNDM_1B_1N_1D_1$$ — параллелепипед.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$ и $$AB\parallel CD$$.

Из условия $$AM=CN$$, значит

$$BM=AB-AM=CD-CN=DN.$$

Кроме того, отрезки $$BM$$ и $$DN$$ лежат на параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$, поэтому $$BM\parallel DN$$. Следовательно, по признаку параллелограмма четырёхугольник $$MBND$$ — параллелограмм.

Аналогично, из равенства $$A_1M_1=C_1N_1$$ получаем

$$B_1M_1=A_1B_1-A_1M_1=C_1D_1-C_1N_1=D_1N_1,$$

и при этом $$B_1M_1\parallel D_1N_1$$, значит $$M_1B_1N_1D_1$$ — параллелограмм.

Теперь рассмотрим параллелограммы $$MBND$$ и $$M_1B_1N_1D_1$$. У них

$$MB=M_1B_1,\qquad DN=D_1N_1,$$

так как соответствующие отрезки заключены между одними и теми же параллельными плоскостями и лежат на параллельных прямых. Кроме того, углы между соответствующими сторонами равны, поскольку эти стороны попарно параллельны.

Значит, параллелограммы $$MBND$$ и $$M_1B_1N_1D_1$$ равны.

Далее, из $$AM=A_1M_1$$ следует, что четырёхугольник $$A_1M_1MA$$ — параллелограмм, поэтому $$MM_1\parallel AA_1\parallel BB_1$$. Аналогично из $$CN=C_1N_1$$ получаем, что $$NN_1\parallel CC_1\parallel DD_1$$.

Следовательно, четырёхугольники $$MBB_1M_1$$ и $$NDD_1N_1$$ — параллелограммы, а значит

$$MM_1=BB_1=CC_1=NN_1=DD_1.$$

Итак, в четырёхугольнике $$MBNDM_1B_1N_1D_1$$ противоположные грани являются параллелограммами, поэтому это параллелепипед.