Упр.779 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна $$S$$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани.

Подробный ответ

Пусть $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$ — основание правильной шестиугольной пирамиды, $$M$$ — вершина, $$H$$ — основание высоты $$MH$$, а $$H_1$$ — середина отрезка $$MH$$. Обозначим через $$a=A_1A_2$$, через $$h=MK$$ высоту боковой грани $$MA_2A_3$$. Тогда площадь этой грани равна

$$S_{MA_2A_3}=\frac{ah}{2}=S.$$

Плоскость сечения параллельна плоскости боковой грани $$MA_2A_3$$ и проходит через середину высоты пирамиды, значит сечение получается подобным соответствующей боковой грани. Найдём его площадь как сумму площадей двух частей.

В основании сечение пересекает стороны в точках $$A_2’$$ и $$A_3’$$, причём $$A_2’A_3′ \parallel A_2A_3$$. Аналогично, на боковых рёбрах получаются точки $$A_1’$$, $$A_4’$$, $$A_5’$$, $$A_6’$$.

Так как $$H_1$$ — середина $$MH$$, то точки $$A_2’$$, $$A_3’$$, $$K_1$$ являются серединами соответствующих отрезков, и потому

$$A_1’A_4’=\frac{A_1A_4}{2}=\frac{2a}{2}=a,$$

$$A_2’A_3’=\frac{A_2A_3+A_1A_2}{2}=\frac{a+2a}{2}=\frac{3a}{2},$$

$$K_1H_1=\frac{h}{2}.$$

Следовательно, площадь центральной части сечения равна

$$S_1=\frac{A_2’A_3’+A_1’A_4′}{2}\cdot K_1H_1=\frac{\frac{3a}{2}+a}{2}\cdot \frac{h}{2}=\frac{5ah}{8}.$$

Теперь рассмотрим боковую часть сечения у ребра $$A_5A_6$$. Из подобия соответствующих треугольников получаем, что

$$A_6’A_5’=\frac{a}{4}.$$

Тогда площадь этой части равна

$$S_2=\frac{A_1’A_6’+A_5’A_4′}{2}\cdot \frac{h}{4}=\frac{a+\frac{a}{4}}{2}\cdot \frac{h}{4}=\frac{5ah}{32}.$$

Итак, площадь всего сечения:

$$S_{\text{сеч}}=S_1+S_2=\frac{5ah}{8}+\frac{5ah}{32}=\frac{25ah}{32}.$$