Упр.778 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.

Подробный ответ

Рассмотрим проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его пространственной диагонали. Получится правильный шестиугольник. Обозначим его сторону через $$b$$.

Найдём $$b$$. В треугольнике $$ABA_1$$ имеем $$AB=a$$, $$AA_1=a$$, $$\angle BAA_1=90^\circ$$, а также $$\angle ABA_1=120^\circ$$. По теореме косинусов:

$$ A_1B^2=b^2+b^2-2b^2\cos120^\circ=3b^2. $$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $$ABA_1$$:

$$ A_1B^2=a^2+a^2=2a^2. $$

Следовательно,

$$ 3b^2=2a^2,\qquad b=\frac{a\sqrt6}{3}. $$

Теперь найдём радиус окружности, вписанной в этот правильный шестиугольник:

$$ r=b\cos30^\circ=\frac{a\sqrt6}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}. $$

Это равно половине диагонали грани куба, так как диагональ грани равна $$a\sqrt2$$. Значит, отверстие можно сделать таким, чтобы через него проходил куб со стороной $$a$$.

Покажем, что через такое отверстие пройдёт и куб большего размера. Для этого достаточно рассмотреть квадрат, вписанный в окружность отверстия, со стороной $$a$$, расположенный параллельно сторонам шестиугольника. Тогда его диагональ равна диаметру окружности:

$$ d=2r=a\sqrt2. $$

Значит, сторона такого квадрата равна

$$ \frac{d}{\sqrt2}=\frac{a\sqrt2}{\sqrt2}=a. $$

Следовательно, через отверстие можно протащить куб таких же размеров. Более того, если повернуть куб соответствующим образом, то его проекция на плоскость отверстия будет квадратом со стороной $$a$$, который целиком помещается внутри отверстия.

Итак, сквозное отверстие в кубе можно вырезать так, что через него пройдёт куб со стороной не меньше $$a$$.