Упр.778 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.
Рассмотрим проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали. Получится правильный шестиугольник. Обозначим его сторону через $$b$$.
В равнобедренном треугольнике $$ABA_1$$ по теореме косинусов имеем:
$$A_1B^2=b^2+b^2-2b^2\cos120^\circ=3b^2,$$
$$A_1B^2=a^2+a^2-2a^2\cos90^\circ=2a^2.$$
Следовательно,
$$3b^2=2a^2,\qquad b=\frac{a\sqrt6}{3}.$$
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен
$$r=b\cos30^\circ=\frac{a\sqrt6}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}.$$
Это равно половине диагонали грани куба, так как диагональ грани равна $$a\sqrt2$$. Значит, отверстие можно сделать не меньше, чем нужно для прохождения куба со стороной $$a$$.
Теперь покажем, что через такое отверстие пройдет и куб большего размера. Пусть квадратное сечение куба со стороной $$a$$ расположено параллельно одной из сторон шестиугольника. Тогда достаточно доказать, что расстояние от центра $$O$$ до вершины $$C$$ шестиугольника больше, чем до середины стороны $$B$$, то есть $$OC>OB$$.
В треугольнике $$AOC$$:
$$OA=\frac{a\sqrt6}{3},\qquad \angle CAO=90^\circ,\qquad \angle COA=45^\circ,$$
откуда
$$\angle ACO=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\frac{OA}{\sin45^\circ}=\frac{OC}{\sin60^\circ},$$
следовательно,
$$OC=OA\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =\frac{a\sqrt6}{3}\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2} =\frac{a\sqrt3}{\sqrt2}.$$
А так как
$$OB=\frac{a\sqrt2}{2},$$
то
$$OC>OB.$$
Значит, через такое отверстие можно протащить куб таких же и даже больших размеров.
