Упр.777 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?
Пусть ребро куба равно $$a$$. Развернём две смежные грани куба так, чтобы кратчайший путь от паука к мухе стал отрезком на плоскости.
Обозначим через $$M$$ середину ребра $$AB$$, где сидит паук, а через $$D_1$$ — вершину, в которой находится муха. Тогда кратчайший путь на развертке — это отрезок $$MD_1$$.
Рассмотрим две возможные развертки.
Если путь идёт через точку пересечения с ребром $$AD$$, то в прямоугольном треугольнике $$AMD_1$$ имеем
$$AD_1=2a,\qquad AM=\frac{a}{2}.$$
Тогда
$$D_1M=\sqrt{AD_1^2+AM^2} =\sqrt{4a^2+\frac{a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{17}}{2}.$$
Если путь идёт через точку пересечения с ребром $$A_1D_1$$, то в прямоугольном треугольнике $$D_1A_1M$$ получаем
$$A_1D_1=a,\qquad A_1M=A_1A+AM=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}.$$
Следовательно,
$$D_1M=\sqrt{A_1D_1^2+A_1M^2} =\sqrt{a^2+\frac{9a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{13}}{2}.$$
Так как $$\frac{a\sqrt{13}}{2}<\frac{a\sqrt{17}}{2}$$, кратчайшим является второй путь. Значит, паук должен двигаться по отрезку $$MD_1$$, пересечь ребро $$A_1D_1$$ в точке, делящей его в отношении $$1:2$$ от вершины $$D_1$$, а затем ползти по прямой к мухе.
Ответ: паук должен двигаться по кратчайшему пути через ребро $$A_1D_1$$; точка пересечения находится на расстоянии $$\frac{1}{3}a$$ от вершины $$D_1$$.
