Упр.775 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.

Подробный ответ

Обозначим через $$a$$ ребро куба, а через $$O$$ — его центр. Пусть прямая $$b$$ проходит через точку $$O$$. Обозначим через $$\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3,\varphi_4$$ углы между прямой $$b$$ и радиус-векторами $$OA,\,OB,\,OC,\,OD$$ к четырём вершинам одного основания куба.

Тогда для расстояний от этих вершин до прямой $$b$$ имеем:

$$d_A=OA\sin\varphi_1,\quad d_B=OB\sin\varphi_2,\quad d_C=OC\sin\varphi_3,\quad d_D=OD\sin\varphi_4.$$

Так как $$OA=OB=OC=OD=\dfrac{a\sqrt3}{2}$$, то сумма квадратов расстояний от всех восьми вершин куба до прямой $$b$$ равна

$$S=2\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2\sum_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i=\frac{3a^2}{2}\sum_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i.$$

Осталось найти сумму $$\sum\limits_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i$$. Для этого рассмотрим проекцию прямой $$b$$ на плоскость основания куба. Пусть эта проекция пересекает плоскость основания в точке $$A_3$$. Введём координаты в плоскости основания так, чтобы

$$A(0,0),\quad B(a,0),\quad C(a,a),\quad D(0,a),\quad A_3(x,y).$$

Тогда

$$A_3A^2=x^2+y^2,$$
$$A_3B^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$A_3C^2=(a-x)^2+(a-y)^2,$$
$$A_3D^2=x^2+(a-y)^2.$$

С другой стороны, по теореме косинусов в треугольнике $$OA_3A$$:

$$A_3A^2=OA^2+OA_3^2-2\cdot OA\cdot OA_3\cos\varphi_1.$$

Аналогично получаем:

$$2\cdot OA_3\cdot OA\cos\varphi_1=\frac{3a^2}{2}-a(x+y),$$
$$2\cdot OA_3\cdot OB\cos\varphi_2=\frac{a^2}{2}+a(x-y),$$
$$2\cdot OA_3\cdot OC\cos\varphi_3=\frac{a^2}{2}-a(x+y),$$
$$2\cdot OA_3\cdot OD\cos\varphi_4=\frac{a^2}{2}+a(y-x).$$

Теперь сложим квадраты косинусов. Так как $$OA=OB=OC=OD=\dfrac{a\sqrt3}{2}$$, то

$$\sum_{i=1}^4 \cos^2\varphi_i=\frac{a^2}{OA^2}= \frac{a^2}{\frac{3a^2}{4}}=\frac{4}{3}.$$

Следовательно,

$$\sum_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i=4-\sum_{i=1}^4 \cos^2\varphi_i=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.$$

Подставляя это в выражение для $$S$$, получаем:

$$S=\frac{3a^2}{2}\cdot \frac{8}{3}=4a^2.$$

Итак, сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой и равна $$4a^2$$.

Ответ: $$4a^2$$.