Упр.775 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — ребро куба, $$O$$ — его центр, а $$b$$ — произвольная прямая, проходящая через $$O$$. Обозначим через $$\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3,\varphi_4$$ углы между прямой $$b$$ и радиус-векторами, проведёнными из центра куба к четырём вершинам одной грани.

Тогда расстояние от любой вершины куба до прямой $$b$$ равно

$$d=OA\sin\varphi,$$

где $$OA$$ — расстояние от центра куба до вершины. Для куба

$$OA=OB=OC=OD=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно, сумма квадратов расстояний от всех восьми вершин куба до прямой $$b$$ равна

$$S=2\cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2\sum_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i=\frac{3a^2}{2}\sum_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i.$$

Осталось найти сумму $$\sum\limits_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i$$. Для этого рассмотрим проекции прямой $$b$$ на координатные оси, выбрав систему координат так, чтобы центр куба был началом координат, а оси были направлены вдоль рёбер куба. Тогда для направляющих косинусов прямой $$b$$ получаем

$$\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3=\!1.$$

Из симметрии куба для четырёх вершин одной грани сумма квадратов косинусов с направлением прямой даёт

$$\sum_{i=1}^4 \cos^2\varphi_i=\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$\sum_{i=1}^4 \sin^2\varphi_i=4-\sum_{i=1}^4 \cos^2\varphi_i=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.$$

Подставляем в формулу для $$S$$:

$$ S=\frac{3a^2}{2}\cdot \frac{8}{3}=4a^2. $$

Итак, сумма квадратов расстояний от вершин куба до любой прямой, проходящей через его центр, постоянна и равна $$4a^2$$.