Упр.774 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.
Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$a$$.
1) Сечение плоскостью $$ACD_1$$ — правильный треугольник. Действительно, его стороны являются диагоналями граней куба, а значит
$$AC=CD_1=AD_1=a\sqrt{2}.$$
Следовательно, $$\triangle ACD_1$$ равносторонний.
2) Любое сечение, параллельное грани куба, есть квадрат, причём его стороны равны $$a$$.
3) Построим плоскость, проходящую через середину $$E$$ ребра $$AB$$ и параллельную плоскости $$ACD_1$$. Она пересечёт ребро $$BC$$ в точке $$F$$. Так как $$EF \parallel AC$$, то по теореме Фалеса точка $$F$$ — середина $$BC$$, а
$$EF=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$
Аналогично получаем, что точки пересечения этой плоскости с другими рёбрами куба — середины соответствующих рёбер. Значит, все стороны сечения равны $$\frac{a}{\sqrt{2}}$$, и сечение является правильным шестиугольником.
4) Правильный пятиугольник сечением куба быть не может. Если бы сечение было пятиугольником, то одна из его вершин совпадала бы с вершиной куба. Тогда две соседние стороны пятиугольника лежали бы в одной грани куба или на параллельных рёбрах, а соответствующие углы при этой вершине в сумме давали бы $$180^\circ$$. Но в правильном пятиугольнике каждый внутренний угол равен $$108^\circ$$, и это невозможно.
5) Правильный многоугольник с числом сторон больше шести также не может быть сечением куба, так как у куба всего шесть граней, а сечение пересекает каждую грань не более чем по одному отрезку. Поэтому число сторон сечения не может превышать шести.
Таким образом, сечением куба могут быть правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник, но не могут быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.
Ответ
Сечением куба могут быть правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник; правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести сечением куба быть не могут.