Упр.774 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$a$$.

1. Сечение $$ACD_1$$ — правильный треугольник, так как его стороны являются диагоналями граней куба и равны $$a\sqrt{2}$$.
2. Любое сечение, параллельное грани куба, есть квадрат со стороной $$a$$.
3. Проведём через середину $$E$$ ребра $$AB$$ плоскость, параллельную плоскости $$ACD_1$$. Она пересечёт ребро $$BC$$ в точке $$F$$. Так как $$EF \parallel AC$$, то по теореме Фалеса $$F$$ — середина $$BC$$, а $$EF=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$$. Аналогично получаем, что точки пересечения сечущей плоскости с другими рёбрами куба — середины соответствующих рёбер. Значит, все стороны сечения равны, и получаем правильный шестиугольник.
4. Правильный пятиугольник сечением куба быть не может. Действительно, если сечение имеет пять сторон, то одна из его вершин совпадает с вершиной куба. Тогда две соседние стороны сечения лежат в двух гранях куба и образуют в этой вершине углы, сумма которых равна $$180^\circ$$. Но в правильном пятиугольнике каждый внутренний угол равен $$108^\circ$$, а $$108^\circ+108^\circ\ne180^\circ$$. Противоречие.
5. Правильный многоугольник с числом сторон больше шести также не может быть сечением куба, так как у куба всего шесть граней, а сечение многогранника плоскостью может иметь не более шести сторон.

Следовательно, сечением куба могут быть правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник, но не могут быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.