Упр.773 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.

Подробный ответ

Пусть прямая $$AB$$ пересекает грани двугранного угла с ребром $$MN$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A$$ и $$B$$ на ребро $$MN$$.

Тогда $$AA_1 \perp MN$$ и $$BB_1 \perp MN$$, а значит, $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — расстояния от точек $$A$$ и $$B$$ до ребра $$MN$$.

Докажем необходимость

Пусть прямая $$AB$$ образует с гранями двугранного угла равные углы. Тогда углы между прямой $$AB$$ и ребром $$MN$$ в соответствующих плоскостях равны, то есть

$$\angle ABA_1=\angle BAA_1.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABA_1$$ и $$\triangle BAA_1$$. У них:

$$AB$$ — общая гипотенуза;
$$\angle ABA_1=\angle BAA_1$$;
прямые углы при $$A_1$$ и $$B_1$$.

Следовательно, эти треугольники равны, откуда

$$AA_1=BB_1.$$

Значит, точки $$A$$ и $$B$$ равноудалены от ребра $$MN$$.

Докажем достаточность

Пусть теперь точки $$A$$ и $$B$$ равноудалены от ребра $$MN$$, то есть

$$AA_1=BB_1.$$

Тогда в прямоугольных треугольниках $$\triangle ABA_1$$ и $$\triangle BAA_1$$ снова имеем:

общую гипотенузу $$AB$$;
равные катеты $$AA_1=BB_1$$;
прямые углы при $$A_1$$ и $$B_1$$.

Следовательно, $$\triangle ABA_1 \cong \triangle BAA_1$$, а значит, соответствующие углы равны:

$$\angle ABA_1=\angle BAA_1.$$

То есть прямая $$AB$$ образует с гранями двугранного угла равные углы.

Итак, прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.