Упр.771 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через ребро тетраэдра проведена плоскость, разделяющая двугранный угол при этом ребре пополам. Докажите, что она делит противоположное ребро тетраэдра в отношении, равном отношению площадей граней, заключающих этот двугранный угол.

Пусть плоскость проходит через ребро $$PC$$ тетраэдра $$OABC$$ и пересекает противоположное ребро $$AO$$ в точке $$P$$. Обозначим через $$S_{ABC}$$ и $$S_{OBC}$$ площади граней $$ABC$$ и $$OBC$$.

Опустим из точек $$A$$ и $$O$$ перпендикуляры $$AH_1$$ и $$OH_2$$ на плоскость $$PBC$$. Так как плоскость $$PBC$$ делит двугранный угол при ребре $$BC$$ пополам, то точки $$A$$ и $$O$$ равноудалены от этой плоскости, значит

$$AH_1=OH_2.$$

Тогда для объёмов тетраэдров $$APBC$$ и $$OPBC$$ имеем

$$V_{APBC}=\frac13 AH_1\cdot S_{PBC},\qquad V_{OPBC}=\frac13 OH_2\cdot S_{PBC}.$$

Следовательно,

$$\frac{V_{APBC}}{V_{OPBC}}=\frac{AH_1}{OH_2}=1.$$

С другой стороны, если взять за общую высоту расстояние от точек $$A$$ и $$O$$ до плоскости $$PBC$$, то

$$\frac{V_{APBC}}{V_{OPBC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}.$$

Теперь рассмотрим тетраэдры $$APBC$$ и $$OPBC$$ как имеющие общую основу $$PBC$$. Их объёмы выражаются через высоты из точек $$A$$ и $$O$$ на плоскость $$PBC$$:

$$V_{APBC}=\frac13 h_1\cdot S_{PBC},\qquad V_{OPBC}=\frac13 h_2\cdot S_{PBC},$$

поэтому

$$\frac{V_{APBC}}{V_{OPBC}}=\frac{h_1}{h_2}.$$

Из подобия соответствующих треугольников в сечении получаем

$$\frac{h_1}{h_2}=\frac{AP}{PO}.$$

Значит,

$$\frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}=\frac{V_{APBC}}{V_{OPBC}}=\frac{h_1}{h_2}=\frac{AP}{PO}.$$

Что и требовалось доказать.