Упр.770 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Все плоские углы тетраэдра $$OABC$$ при вершине $$O$$ равны $$90^\circ$$. Докажите, что площадь треугольника $$AOB$$ равна среднему геометрическому площадей треугольников $$ABC$$ и $$O_1AB$$, где $$O_1$$ — проекция точки $$O$$ на плоскость $$ABC$$.

Так как $$O_1$$ — проекция точки $$O$$ на плоскость $$ABC$$, то $$OO_1 \perp ABC$$.

По условию $$\angle AOC=90^\circ$$ и $$\angle AOB=90^\circ$$, значит

$$AO \perp OC,\qquad AO \perp OB.$$

Следовательно, прямая $$AO$$ перпендикулярна плоскости $$BOC$$, а значит $$AO \perp BC$$. Аналогично получаем

$$BO \perp AC,\qquad CO \perp AB.$$

Пусть $$H=CO_1\cap AB$$. Тогда $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$, а угол $$\angle CHO$$ является линейным углом между плоскостями $$ABC$$ и $$OAB$$.

Из $$OO_1 \perp ABC$$ и $$OH \perp AB$$ следует, что $$OH$$ — высота треугольника $$AOB$$, поэтому

$$S_{AOB}=\frac12 AB\cdot OH.$$

В треугольнике $$ABC$$ имеем

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot CH.$$

Так как $$\triangle CHO$$ прямоугольный, то

$$\cos \angle CHO=\frac{OH}{CH},\qquad CH=\frac{OH}{\cos \angle CHO}.$$

Кроме того, в треугольнике $$ABO_1$$ высота к основанию $$AB$$ равна $$O_1H$$, а потому

$$S_{ABO_1}=\frac12 AB\cdot O_1H.$$

Из прямоугольного треугольника $$OHO_1$$ получаем

$$O_1H=OH\cos \angle CHO.$$

Тогда

$$S_{ABC}\cdot S_{ABO_1} =\left(\frac12 AB\cdot CH\right)\left(\frac12 AB\cdot O_1H\right) =\frac14 AB^2\cdot CH\cdot O_1H.$$

Подставляя $$CH=\dfrac{OH}{\cos \angle CHO}$$ и $$O_1H=OH\cos \angle CHO$$, получаем

$$S_{ABC}\cdot S_{ABO_1} =\frac14 AB^2\cdot OH^2.$$

С другой стороны,

$$S_{AOB}=\frac12 AB\cdot OH,$$

значит

$$S_{AOB}^2=\frac14 AB^2\cdot OH^2.$$

Следовательно,

$$S_{AOB}^2=S_{ABC}\cdot S_{ABO_1},$$

то есть площадь треугольника $$AOB$$ равна среднему геометрическому площадей треугольников $$ABC$$ и $$ABO_1$$.